Identifier (rotation

Une matrice de ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ de déterminant $1$ s'écrit $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ (rotation d'angle $\theta$) ; de déterminant $-1$, elle s'écrit $\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ \sin \phi & -\cos \phi \end{array}\right)$ (réflexion d'axe dirigé par $(\cos \frac{\phi }{2},\sin \frac{\phi }{2})$).

1) $R=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ : ses colonnes sont unitaires et orthogonales, donc $R\in {\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$, et $\det R=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. C'est une rotation, avec $\cos \theta =\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ : la rotation d'angle $\frac{\pi }{4}$.

2) $S=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& -3\end{array}\right)$ : colonnes unitaires ($\frac{9+16}{25}=1$) et orthogonales ($12-12=0$), et $\det S=\frac{-9-16}{25}=-1$. C'est une réflexion, avec $\cos \phi =\frac{3}{5}$, $\sin \phi =\frac{4}{5}$. Son axe est $\ker (S-I_2)$ : l'équation $-2x+4y=0$ donne l'axe $\mathrm{Vect}((2,1))$. Contrôle : $S\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$, et $(1,-2)$, orthogonal à l'axe, est changé en son opposé.

3) $-I_2$ est orthogonale, de déterminant $(-1{)}^2=1$ : ce n'est pas une réflexion mais la rotation d'angle $\pi$, c'est-à-dire la symétrie centrale $x\mapsto -x$. Elle n'a aucun vecteur fixe non nul ; en dimension $2$, une symétrie centrale est une rotation.