Les rotations planes et les nombres complexes de module 1

Stratégie : un seul produit matriciel, puis trois lectures. On calcule $R(t)R(t^{\prime })$ avec les formules d'addition de $\cos$ et $\sin$ ; l'identité obtenue contient tout le reste — l'inverse, la commutativité, le noyau, et la correspondance avec $\mathbb{U}$.

Étape 1 — le calcul. Avec $R(t)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)$ : $$R(t)R(t^{\prime })=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos t^{\prime }& -\sin t^{\prime }\\ \sin t^{\prime }& \cos t^{\prime }\end{array}\right).$$ Coefficient par coefficient :

• en $(1,1)$ : $\cos t\cos t^{\prime }-\sin t\sin t^{\prime }=\cos (t+t^{\prime })$ ;
• en $(1,2)$ : $-\cos t\sin t^{\prime }-\sin t\cos t^{\prime }=-\sin (t+t^{\prime })$ ;
• en $(2,1)$ : $\sin t\cos t^{\prime }+\cos t\sin t^{\prime }=\sin (t+t^{\prime })$ ;
• en $(2,2)$ : $-\sin t\sin t^{\prime }+\cos t\cos t^{\prime }=\cos (t+t^{\prime })$.

D'où $$\boxed{R(t)R(t^{\prime })=R(t+t^{\prime })\text{pour tous }t,t^{\prime }\in \mathbb{R}.}$$

Étape 2 — les conséquences immédiates.

• $R(0)=I_2$.
• $R(t)R(-t)=R(0)=I_2$, donc $R(t)$ est inversible d'inverse $R(-t)$ ; et $R(-t)={}^{t}R(t)$ par parité de $\cos$ et imparité de $\sin$ — on retrouve $R(t)\in {\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$, avec $\det R(t)={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$, donc $R(t)\in {\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$.
• Commutativité de ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$, énoncée dans le cours et ici démontrée : $R(t)R(t^{\prime })=R(t+t^{\prime })=R(t^{\prime }+t)=R(t^{\prime })R(t)$, parce que l'addition des réels est commutative. Composer deux rotations planes, c'est ajouter leurs angles ; c'est tout.
• Par récurrence immédiate, $R(t{)}^k=R(kt)$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, et l'identité $R(t{)}^{-1}=R(-t)$ étend la formule à tout $k\in \mathbb{Z}$.

Étape 3 — l'application $\phi :t\mapsto R(t)$. Elle va de $\mathbb{R}$ dans ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$ et transforme les sommes en produits : $\phi (t+t^{\prime })=\phi (t)\phi (t^{\prime })$. C'est ce qu'on appelle un morphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $({\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R}),\times )$.

Elle atteint tout ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$. Le cours décrit toute matrice de ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$ sous la forme $R(\theta )$ pour un unique $\theta \in [0,2\pi [$ : $\phi$ est donc surjective.

Son noyau est $2\pi \mathbb{Z}$. On cherche les $t$ tels que $R(t)=I_2$, c'est-à-dire $$\cos t=1\text{et}\sin t=0.$$ La première condition suffit déjà : $\cos t=1⟺t\in 2\pi \mathbb{Z}$ (première année), et alors $\sin t=0$ automatiquement. Donc $$\ker \phi =\{t\in \mathbb{R}\mid R(t)=I_2\}=2\pi \mathbb{Z}.$$

Conséquence, la seule dont on se servira. Pour $t,t^{\prime }\in \mathbb{R}$ : $$R(t)=R(t^{\prime })⟺R(t)R(t^{\prime }{)}^{-1}=I_2⟺R(t-t^{\prime })=I_2⟺t-t^{\prime }\in 2\pi \mathbb{Z}.$$ Autrement dit : l'angle d'une rotation plane est défini modulo $2\pi$, et pas mieux.

Étape 4 — l'identification $\mathbb{U}\cong {\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$. Rappelons $\mathbb{U}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}=\{e^{it},t\in \mathbb{R}\}$. Définissons $$\Phi :\mathbb{U}⟶{\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R}),\Phi \left(e^{it}\right)=R(t).$$

$\Phi$ est bien définie. C'est le point qu'il faut vérifier, et c'est l'étape 3 qui le donne : si $e^{it}=e^{i{t}^{\prime }}$, alors $t-t^{\prime }\in 2\pi \mathbb{Z}$, donc $R(t)=R(t^{\prime })$. Deux écritures du même complexe donnent la même matrice — sans cette vérification, la « définition » n'en serait pas une.

$\Phi$ transforme les produits en produits. $\Phi \left(e^{it}{e}^{i{t}^{\prime }}\right)=\Phi \left(e^{i(t+t^{\prime })}\right)=R(t+t^{\prime })=R(t)R(t^{\prime })=\Phi (e^{it})\Phi (e^{i{t}^{\prime }})$.

$\Phi$ est bijective. Surjective, car $\phi$ l'est (étape 3). Injective, car $R(t)=R(t^{\prime })\Rightarrow t-t^{\prime }\in 2\pi \mathbb{Z}\Rightarrow e^{it}=e^{i{t}^{\prime }}$ — la même équivalence, lue dans l'autre sens.

$\Phi$ est donc un isomorphisme : $\mathbb{U}$ et ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$ sont deux visages du même objet. On retrouve d'ailleurs la commutativité de ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$ : celle de la multiplication dans $\mathbb{C}$.

Pourquoi ce n'est pas une coïncidence. L'application $a+ib\mapsto \left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ envoie $\mathbb{C}$ dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et transforme la multiplication complexe en produit matriciel : $$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac-bd& -(ad+bc)\\ ad+bc& ac-bd\end{array}\right),$$ ce qui est exactement l'écriture matricielle de $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$. De plus $\det \left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=a^2+b^2=|a+ib{|}^2$ : la condition $|z|=1$ devient exactement $\det =1$. Multiplier par $e^{it}$ dans le plan complexe est la rotation d'angle $t$ ; les deux identités $e^{it}{e}^{i{t}^{\prime }}=e^{i(t+t^{\prime })}$ et $R(t)R(t^{\prime })=R(t+t^{\prime })$ ne sont pas analogues, elles sont la même, écrite deux fois.

Contrôle chiffré.

• $R\left(\frac{\pi }{3}\right)R\left(\frac{\pi }{6}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=R\left(\frac{\pi }{2}\right)$, et $\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ $✓$.
• Ordre fini : $R{\left(\frac{2\pi }{3}\right)}^3=R(2\pi )=I_2$, tandis que $R\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\ne I_2$ et $R{\left(\frac{2\pi }{3}\right)}^2\ne I_2$. On retrouve, côté $\mathbb{U}$, que $e^{2i\pi /3}$ est une racine cubique primitive de l'unité : les deux structures comptent pareil.

Ce qui est acquis. L'identité $R(t)R(t^{\prime })=R(t+t^{\prime })$ est le seul calcul à retenir de ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$ : elle donne l'inverse, la commutativité, les puissances, et le fait que l'angle n'est défini que modulo $2\pi$. Et la traduction complexe fournit un dictionnaire — angle $\leftrightarrow$ argument, composition $\leftrightarrow$ multiplication — qui permet souvent de remplacer un calcul matriciel par un calcul de module et d'argument.