(⋆) Pour a ∈ ℝ, soit …. Déterminer le spectre de A(a), puis les…

Spectre. On écrit $A(a)=I_3+aJ$ avec $J=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$. On a ${\chi }_J(X)=X^3-2X=X(X^2-2)$, donc $\mathrm{Sp}(J)=\{0,\sqrt{2},-\sqrt{2}\}$, avec pour vecteurs propres $$J\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=0,J\left(\begin{array}{c}1\\ \pm \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)=\pm \sqrt{2}\left(\begin{array}{c}1\\ \pm \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right).$$ Ces vecteurs sont propres pour $A(a)=I_3+aJ$, avec valeurs propres $1+a\lambda$. D'où $$\mathrm{Sp}(A(a))=\{1,1+a\sqrt{2},1-a\sqrt{2}\}.$$

Positivité. $A(a)$ est symétrique réelle. Elle est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont $\ge 0$, et définie positive si et seulement si elles sont toutes $>0$. La valeur propre $1$ ne pose pas de problème, et la plus petite des deux autres vaut $1-|a|\sqrt{2}$. Donc :

• $A(a)$ est positive si et seulement si $1-|a|\sqrt{2}\ge 0$, soit $|a|\le \frac{1}{\sqrt{2}}$ ;
• $A(a)$ est définie positive si et seulement si $|a|<\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Contrôle. $\det A(a)=1\cdot (1+a\sqrt{2})(1-a\sqrt{2})=1-2a^2$, qui s'annule exactement en $a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ : en ces valeurs, $A(a)$ est positive mais pas définie positive, car elle a une valeur propre nulle.