Rotation d'axe (1,1,1) et d'angle π/3

Stratégie. Trois questions, trois outils : les colonnes pour l'orthogonalité, le noyau de $A-I$ pour l'axe, la trace pour le cosinus de l'angle. La trace ne donne l'angle qu'au signe près : le signe se lit sur un produit mixte, et on le contrôle en recalculant la même quantité par la formule de la rotation.

1. $A\in {\mathrm{SO}}_3(\mathbb{R})$. Les colonnes de $A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 2& 2& -1\\ -1& 2& 2\end{array}\right)$ sont $$C_1=\frac{1}{3}(2,2,-1),C_2=\frac{1}{3}(-1,2,2),C_3=\frac{1}{3}(2,-1,2).$$ Chacune est de norme $\frac{\sqrt{4+4+1}}{3}=\frac{3}{3}=1$, et $$⟨C_1,C_2⟩=\frac{1}{9}(-2+4-2)=0,⟨C_1,C_3⟩=\frac{1}{9}(4-2-2)=0,⟨C_2,C_3⟩=\frac{1}{9}(-2-2+4)=0.$$ Les colonnes forment une famille orthonormée : $A\in {\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$. Son déterminant, par développement selon la première ligne : $$\det A=\frac{1}{27}[2(2\times 2-(-1)\times 2)-(-1)(2\times 2-(-1)\times (-1))+2(2\times 2-2\times (-1))]=\frac{1}{27}[12+3+12]=\frac{27}{27}=1.$$ Donc $A\in {\mathrm{SO}}_3(\mathbb{R})$ : c'est la matrice d'une rotation de l'espace.

2. L'axe. L'axe est $\ker (A-I_3)$, l'ensemble des vecteurs invariants. En multipliant par $3$ pour éliminer les fractions, le système $3(A-I_3)X=0$ s'écrit $$\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 2\\ 2& -1& -1\\ -1& 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=0⟺\{\begin{array}{l}-x-y+2z=0\\ 2x-y-z=0\\ -x+2y-z=0\end{array}$$ La deuxième équation donne $y=2x-z$ ; en la reportant dans la première : $-x-2x+z+2z=0$, soit $3z=3x$, donc $z=x$, puis $y=2x-x=x$. La troisième est alors automatiquement vérifiée : $-x+2x-x=0$. D'où $$D=\ker (A-I_3)=\mathrm{Vect}(1,1,1),\overrightarrow{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\text{ unitaire.}$$ (Contrôle immédiat : chaque ligne de $A$ somme à $\frac{2-1+2}{3}=\frac{2+2-1}{3}=\frac{-1+2+2}{3}=1$, donc $A(1,1,1)=(1,1,1)$ sans aucun calcul supplémentaire.)

3. L'angle, au signe près. Dans une base orthonormée $(\overrightarrow{u},v_1,v_2)$ adaptée à $D\oplus D^{\perp }$, la matrice de la rotation est $\mathrm{diag}(1,R(\theta ))$, de trace $1+2\cos \theta$. La trace étant invariante par changement de base : $$\mathrm{tr}A=\frac{2+2+2}{3}=2=1+2\cos \theta ⟹\cos \theta =\frac{1}{2}⟹\theta \equiv \pm \frac{\pi }{3}[2\pi ].$$

4. Le signe de l'angle. L'angle n'a de signe qu'une fois l'axe orienté, ici par $\overrightarrow{u}$. Décomposons un vecteur $x$ en $x=x_{\parallel }+x_{\perp }$ avec $x_{\parallel }=⟨x,\overrightarrow{u}⟩\overrightarrow{u}$. La rotation agit par $$Ax=x_{\parallel }+\cos \theta x_{\perp }+\sin \theta (\overrightarrow{u}\wedge x_{\perp }),$$ d'où, en calculant le produit mixte $[\overrightarrow{u},x,Ax]=⟨\overrightarrow{u},x\wedge Ax⟩$ (tous les termes contenant deux fois $x_{\parallel }$ ou $\overrightarrow{u}$ colinéaires s'annulent) : $$⟨\overrightarrow{u},x\wedge Ax⟩=\sin \theta [\overrightarrow{u},x_{\perp },\overrightarrow{u}\wedge x_{\perp }]=\sin \theta \Vert x_{\perp }{\Vert }^2,$$ la dernière égalité venant de ce que $(\overrightarrow{u},\frac{x_{\perp }}{\Vert x_{\perp }\Vert },\frac{\overrightarrow{u}\wedge x_{\perp }}{\Vert x_{\perp }\Vert })$ est une base orthonormée directe. Le produit mixte a donc le signe de $\sin \theta$.

Prenons $x=e_1=(1,0,0)$, d'image $Ax=\frac{1}{3}(2,2,-1)$ (première colonne). Alors $$x\wedge Ax=(1,0,0)\wedge (\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3})=(0,\frac{1}{3},\frac{2}{3}),⟨\overrightarrow{u},x\wedge Ax⟩=\frac{1}{\sqrt{3}}(0+\frac{1}{3}+\frac{2}{3})=\frac{1}{\sqrt{3}}>0.$$ Donc $\sin \theta >0$ et $$\boxed{A\text{ est la rotation d’axe }\mathrm{Vect}(1,1,1),\text{orienteˊ par }\overrightarrow{u},\text{et d’angle }\theta =+\frac{\pi }{3}.}$$

Contrôles chiffrés.

• Le produit mixte, recalculé par la formule. Ici $x_{\parallel }=⟨e_1,\overrightarrow{u}⟩\overrightarrow{u}=\frac{1}{3}(1,1,1)$, donc $x_{\perp }=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$ et $\Vert x_{\perp }{\Vert }^2=\frac{4+1+1}{9}=\frac{2}{3}$. La formule du point 4 prédit alors $$\sin \theta \Vert x_{\perp }{\Vert }^2=\sin \frac{\pi }{3}\times \frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$ ce qui est exactement la valeur trouvée par le calcul direct du produit mixte. $✓$ Les deux voies concordent, angle et signe.
• La puissance sixième. Une rotation d'angle $\frac{\pi }{3}$ élevée au cube doit donner le demi-tour d'axe $\overrightarrow{u}$, et à la puissance six l'identité. On vérifie $$A^3=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& -1& 2\\ 2& 2& -1\end{array}\right)=2\overrightarrow{u}{}^t\overrightarrow{u}-I_3(\text{le demi-tour d’axe }\overrightarrow{u}),A^6=I_3.✓$$
• Le polynôme caractéristique. ${\chi }_A=(X-1)(X^2-X+1)$, et les racines de $X^2-X+1$ sont $\frac{1\pm \mathrm{i}\sqrt{3}}{2}={\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}\pi /3}$ : le spectre complexe $\{1,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3},{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /3}\}$ confirme une troisième fois l'angle $\frac{\pi }{3}$. $✓$

Ce qui est acquis. La méthode est un automatisme : colonnes $\to$ orthogonalité ; déterminant $\to$ directe ou indirecte ; $\ker (A-I)$ $\to$ axe ; trace $\to$ cosinus ; produit mixte $\to$ signe. Le dernier point est celui qu'on oublie : sans orientation de l'axe, « l'angle » d'une rotation de l'espace n'est défini qu'au signe près.