Une rotation de l'espace

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PSI), chapitre 4 — Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Montrer que $A = 100001 0 - 1 0$ est une rotation, et déterminer son axe et son angle.

Corrigé

Colonnes orthonormées : $A \in O_{3} (R)$ ; $det A = 1 \times (0 + 1) = 1$ : directe — une rotation (théorème de réduction en dimension 3).

Axe $=$ vecteurs invariants : $A X = X$ donne $y = - z$ et $z = y$ , soit $y = z = 0$ : l'axe est $Vect (e_{1})$ .

Angle : $tr A = 1 = 1 + 2 cos θ$ , d'où $cos θ = 0$ , $θ = \pm \frac{π}{2}$ ; le bloc $(01 - 1 0) = R (\frac{π}{2})$ dans le plan $(e_{2}, e_{3})$ précise : quart de tour d'axe $e_{1}$ , d'angle $+ \frac{π}{2}$ (pour l'orientation donnée par $e_{1}$ ).

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.