Dans ℝ², déterminer si les parties suivantes sont ouvertes, fermées…

En dimension finie toutes les normes sont équivalentes : la nature (ouverte, fermée) d'une partie ne dépend pas de la norme choisie. On utilise la caractérisation séquentielle des fermés et, pour les ouverts, l'image réciproque d'un ouvert par une application continue.

1) $D=\{x^2+y^2<1\}$ : ouvert, non fermé. $D=f^{-1}(]-\infty ,1[)$ avec $f(x,y)=x^2+y^2$ continue, donc $D$ est ouvert. Il n'est pas fermé : $\left(1-\frac{1}{n},0\right)\in D$ converge vers $(1,0)\notin D$.

2) $Q=\{x\ge 0,y>0\}$ : ni ouvert ni fermé. Pas ouvert : $(0,1)\in Q$, mais les points $\left(-\frac{1}{n},1\right)\notin Q$ tendent vers $(0,1)$, donc aucune boule centrée en $(0,1)$ n'est incluse dans $Q$. Pas fermé : $\left(1,\frac{1}{n}\right)\in Q$ tend vers $(1,0)\notin Q$.

3) $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ : fermé, non ouvert. Soit $(p_k,q_k)\in {\mathbb{Z}}^2$ convergeant vers $(x,y)$. La suite est de Cauchy, donc à partir d'un certain rang $|p_k-p_l|<1$ et $|q_k-q_l|<1$, c'est-à-dire $p_k=p_l$ et $q_k=q_l$ (entiers) : la suite est stationnaire, et sa limite est dans ${\mathbb{Z}}^2$. Pas ouvert : $\left(\frac{1}{n},0\right)\notin {\mathbb{Z}}^2$ tend vers $(0,0)\in {\mathbb{Z}}^2$.

4) $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ : ni ouvert ni fermé. Pas ouvert : $\left(\frac{\sqrt{2}}{n},0\right)\notin {\mathbb{Q}}^2$ tend vers $(0,0)\in {\mathbb{Q}}^2$. Pas fermé : si $(r_k)$ est une suite de rationnels de limite $\sqrt{2}$ (par exemple les troncatures décimales), alors $(r_k,0)\in {\mathbb{Q}}^2$ tend vers $(\sqrt{2},0)\notin {\mathbb{Q}}^2$. Ces deux arguments traduisent le fait que ${\mathbb{Q}}^2$ et son complémentaire sont tous deux denses dans ${\mathbb{R}}^2$.

À retenir. « Pas ouvert » n'entraîne pas « fermé » : les deux propriétés sont indépendantes.