Densité de GL_n(ℂ) et Déterminant de l'Exponentielle

1. Densité de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$ : Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Le polynôme ${\chi }_A(X)=\det (X{I}_n-A)$ a un nombre fini de racines complexes (au plus $n$). Il existe donc $r>0$ tel que pour tout $t\in ]0,r]$, ${\chi }_A(-t)\ne 0$ ; or ${\chi }_A(-t)=\det (-t{I}_n-A)=(-1{)}^n\det (A+t{I}_n)$, de sorte que $\det (A+t{I}_n)\ne 0$ également (le facteur $(-1{)}^n$ ne change pas la nullité). Posons $A_k=A+\frac{1}{k}{I}_n$ pour $k$ assez grand ($1/k\le r$). Chaque matrice $A_k$ est inversible ($A_k\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$) et ${\lim }_{k\to +\infty }{A}_k=A$. Ceci prouve que ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$ est dense dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.

2. Formule du déterminant de l'exponentielle :

• Si $T$ est une matrice triangulaire supérieure avec les $({\lambda }_i)$ sur la diagonale, ${\mathrm{e}}^T$ est triangulaire supérieure avec les $({\mathrm{e}}^{{\lambda }_i})$ sur la diagonale. Ainsi $\det ({\mathrm{e}}^T)={\prod }_{i=1}^n{\mathrm{e}}^{{\lambda }_i}={\mathrm{e}}^{\sum {\lambda }_i}={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}(T)}$.
• Comme toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable : $A=PT{P}^{-1}$, on a ${\mathrm{e}}^A=P{\mathrm{e}}^T{P}^{-1}$, d'où $\det ({\mathrm{e}}^A)=\det ({\mathrm{e}}^T)={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}(T)}={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}(A)}$.