Deux normes non équivalentes sur ℝ[X]

Stratégie. Une seule inégalité est vraie ; pour interdire l'autre, il faut une suite témoin dont le rapport des deux normes explose. Ici l'idée est de chercher un polynôme petit sur $[0,1]$ mais à très gros coefficients : c'est possible parce que de gros coefficients de signes alternés se compensent sur $[0,1]$.

Rappelons les deux normes de l'exercice 13 sur $\mathbb{R}[X]$ : pour $P={\sum }_k{a}_k{X}^k$, $$\Vert P\Vert =\sum _k|a_k|\text{et}\Vert P{\Vert }_{\infty }=\underset{t\in [0,1]}{\sup }|P(t)|.$$

Le sens facile (déjà vu à l'exercice 13). Pour $t\in [0,1]$, $|P(t)|\le {\sum }_k|a_k|t^k\le {\sum }_k|a_k|=\Vert P\Vert$, donc en passant au sup : $$\Vert P{\Vert }_{\infty }\le \Vert P\Vert .$$

Le sens qui échoue. Supposons qu'il existe $C>0$ avec $\Vert P\Vert \le C\Vert P{\Vert }_{\infty }$ pour tout $P$. Testons cette inégalité sur $$P_n=(1-2X{)}^n.$$

• $\Vert P_n{\Vert }_{\infty }=1$. Pour $t\in [0,1]$, on a $2t\in [0,2]$ donc $1-2t\in [-1,1]$ et $|P_n(t)|=|1-2t{|}^n\le 1$. L'égalité est atteinte en $t=0$ (où $P_n(0)=1$), donc le sup vaut exactement $1$.

• $\Vert P_n\Vert =3^n$. La formule du binôme donne $P_n={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(-2{)}^k{X}^k$, donc $$\Vert P_n\Vert =\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k=(1+2{)}^n=3^n$$ (binôme de nouveau, cette fois sans les signes). On peut aussi obtenir la minoration qui suffit, sans calculer la somme : pour tout $P$, $|P(-1)|=\left|{\sum }_k{a}_k(-1{)}^k\right|\le {\sum }_k|a_k|=\Vert P\Vert$, et ici $P_n(-1)=(1+2{)}^n=3^n$, donc $\Vert P_n\Vert \ge 3^n$.

L'inégalité supposée donnerait $3^n\le C\cdot 1=C$ pour tout $n$, ce qui est impossible ($3^n\to +\infty$). Donc : $$\boxed{\text{les normes }\Vert \cdot \Vert \text{ et }\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }\text{ ne sont pas eˊquivalentes sur }\mathbb{R}[X].}$$

Le point délicat : pourquoi le témoin fonctionne. Le polynôme $P_n$ prend en $-1$ une valeur énorme, alors qu'il reste borné par $1$ sur $[0,1]$. Autrement dit, $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ ne « regarde » que le segment $[0,1]$, tandis que $\Vert \cdot \Vert$ enregistre le comportement du polynôme hors de ce segment via ses coefficients. Deux normes qui mesurent des choses différentes ne peuvent pas se contrôler l'une l'autre.

Pourquoi ce n'est pas une contradiction avec le cours. Le théorème d'équivalence des normes n'a lieu qu'en dimension finie. Or $\mathbb{R}[X]$ est de dimension infinie : le théorème ne s'applique pas, et l'exercice en fournit la preuve concrète. On remarquera au passage que sur chaque sous-espace ${\mathbb{R}}_d[X]$ (dimension $d+1$, finie), les deux normes sont équivalentes — mais avec une constante qui dépend de $d$ et explose avec lui.

Contrôle chiffré.

$n$	$\Vert P_n{\Vert }_{\infty }$	$\Vert P_n\Vert ={\sum }_k|a_k|$	$|P_n(-1)|=3^n$	rapport
$2$	$1$	$9$	$9$	$9$
$5$	$1$	$243$	$243$	$243$
$10$	$1$	$59049$	$59049$	$59049$
$20$	$1$	$3,487\cdot 10^9$	$3,487\cdot 10^9$	$3,487\cdot 10^9$

Le sup de $|P_n|$ sur $[0,1]$, évalué numériquement sur $200001$ points, vaut $1,000000$ pour chacun de ces $n$ : la majoration annoncée est exacte, et la somme des modules des coefficients coïncide bien avec $3^n$.