Identité du parallélogramme et produit scalaire

Stratégie. Le sens direct est un simple développement. La réciproque demande de reconstruire le produit scalaire à partir de la seule norme : la formule de polarisation est le seul candidat possible, et l'identité du parallélogramme est exactement ce qui lui donne l'additivité.

Sens direct. Supposons $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$ pour un produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$. Par bilinéarité et symétrie, $$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2,\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2.$$ En additionnant, les termes croisés s'éliminent : $$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2.$$ L'identité du parallélogramme est donc nécessaire.

Réciproque. Supposons que $\Vert \cdot \Vert$ vérifie cette identité, et posons la forme de polarisation $$\phi (x,y)=\frac{1}{4}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2\right).$$ C'est le seul candidat : si $\phi$ était un produit scalaire de norme $\Vert \cdot \Vert$, le sens direct imposerait cette formule.

• Symétrie. $\Vert y-x\Vert =\Vert -(x-y)\Vert =|-1|\Vert x-y\Vert =\Vert x-y\Vert$ (homogénéité de la norme), donc $\phi (y,x)=\phi (x,y)$.

• Valeur en $(x,x)$ — le point qui fait tout. $\phi (x,x)=\frac{1}{4}\left(\Vert 2x{\Vert }^2-\Vert 0{\Vert }^2\right)=\frac{1}{4}\cdot 4\Vert x{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2$. La forme quadratique associée à $\phi$ redonne donc bien la norme de départ : c'est ce qu'on cherchait.

• Positivité et séparation. $\phi (x,x)=\Vert x{\Vert }^2\ge 0$, et $\phi (x,x)=0⟺\Vert x\Vert =0⟺x=0$ (axiome de séparation de la norme).

• Additivité — c'est ici, et seulement ici, que l'identité du parallélogramme sert. Appliquons-la deux fois. Avec $a=x+z$ et $b=y+z$ (de sorte que $a+b=x+y+2z$ et $a-b=x-y$) : $$\Vert x+z{\Vert }^2+\Vert y+z{\Vert }^2=\frac{1}{2}\left(\Vert x+y+2z{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2\right).$$ Avec $a=x-z$ et $b=y-z$ (alors $a+b=x+y-2z$ et $a-b=x-y$) : $$\Vert x-z{\Vert }^2+\Vert y-z{\Vert }^2=\frac{1}{2}\left(\Vert x+y-2z{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2\right).$$ En soustrayant, le terme $\Vert x-y{\Vert }^2$ disparaît et $$4(\phi (x,z)+\phi (y,z))=\frac{1}{2}\left(\Vert x+y+2z{\Vert }^2-\Vert x+y-2z{\Vert }^2\right)=2\phi (x+y,2z),$$ c'est-à-dire $\phi (x,z)+\phi (y,z)=\frac{1}{2}\phi (x+y,2z)$.

Faisons $y=0$ dans cette relation : comme $\phi (0,z)=\frac{1}{4}\left(\Vert z{\Vert }^2-\Vert -z{\Vert }^2\right)=0$, il vient $\phi (x,z)=\frac{1}{2}\phi (x,2z)$, autrement dit $\phi (u,2z)=2\phi (u,z)$ pour tout $u$. En reportant : $$\phi (x,z)+\phi (y,z)=\frac{1}{2}\cdot 2\phi (x+y,z)=\phi (x+y,z).$$ L'additivité en la première variable est acquise (et par symétrie, en la seconde).

• Homogénéité. L'additivité donne $\phi (nx,y)=n\phi (x,y)$ pour $n\in \mathbb{N}$, puis pour $n\in \mathbb{Z}$, puis $\phi (\lambda x,y)=\lambda \phi (x,y)$ pour $\lambda \in \mathbb{Q}$. Le passage à $\lambda \in \mathbb{R}$ se fait par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ et continuité de $\lambda \mapsto \phi (\lambda x,y)$ (la norme est continue) — c'est le point que l'énoncé autorise à admettre.

Ainsi $\phi$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive, et sa norme associée est $\sqrt{\phi (x,x)}=\Vert x\Vert$ : la norme provient d'un produit scalaire.

Le point délicat. La formule de polarisation se définit toujours, pour n'importe quelle norme ; ce qui n'est pas toujours vrai, c'est qu'elle soit bilinéaire. L'identité du parallélogramme n'intervient nulle part ailleurs que dans l'additivité — c'est précisément l'hypothèse qui manque au cas général.

Contrôle : deux normes qui échouent. Sur ${\mathbb{R}}^2$, prenons $x=(1,0)$ et $y=(0,1)$, donc $x+y=(1,1)$ et $x-y=(1,-1)$.

norme	$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2$	$2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$	verdict
$\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$	$1+1=2$	$2+2=4$	$2\ne 4$ : pas euclidienne
$\Vert \cdot {\Vert }_1$	$4+4=8$	$2+2=4$	$8\ne 4$ : pas euclidienne
$\Vert \cdot {\Vert }_2$	$2+2=4$	$2+2=4$	égalité ✓

Un tirage numérique de $20000$ couples $(x,y)$ dans ${\mathbb{R}}^3$ confirme l'écart : nul à $10^{-14}$ près pour $\Vert \cdot {\Vert }_2$, atteignant $18,7$ pour $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ et $71,6$ pour $\Vert \cdot {\Vert }_1$.

Acquis. Parmi toutes les normes, les normes euclidiennes se reconnaissent à une identité algébrique portant sur la seule norme — sans jamais mentionner de produit scalaire. Et lorsqu'elle est vérifiée, le produit scalaire se lit directement dans la norme par polarisation.