La plus petite constante de continuité

Majoration : $\Vert u(x,y){\Vert }_{\infty }=\max (|x+y|,|x-y|)\le |x|+|y|\le 2\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }$, donc la constante $C=2$ convient.

Atteinte : pour $(x,y)=(1,1)$ (de norme $\infty$ égale à $1$) : $u(1,1)=(2,0)$, de norme $2$. Donc $$C_{\min }=2.$$ (La méthode est toujours la même : une inégalité générale, puis un vecteur témoin qui la sature — cette constante est un plus petit majorant, il faut le coincer des deux côtés.)