La plus petite constante de continuité

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PSI), chapitre 5 — Espaces Vectoriels Normés et Topologie · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Soit $u (x, y) = (x + y, x - y)$ sur $R^{2}$ muni de $∥ \cdot ∥_{\infty}$ . Montrer que $u$ est continue, puis déterminer la plus petite constante $C$ telle que $∥ u (x, y) ∥_{\infty} \leq C ∥ (x, y) ∥_{\infty}$ pour tout $(x, y)$ .

Corrigé

Majoration : $∥ u (x, y) ∥_{\infty} = max (∣ x + y ∣, ∣ x - y ∣) \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2∥ (x, y) ∥_{\infty}$ , donc la constante $C = 2$ convient.

Atteinte : pour $(x, y) = (1, 1)$ (de norme $\infty$ égale à $1$ ) : $u (1, 1) = (2, 0)$ , de norme $2$ . Donc $C_{m i n} = 2.$ (La méthode est toujours la même : une inégalité générale, puis un vecteur témoin qui la sature — cette constante est un plus petit majorant, il faut le coincer des deux côtés.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.