Montrer que ‖A‖ = max _i,j|a_i,j| et … sont des normes sur Mₙ(ℝ) (la…

Première norme : $\Vert A\Vert ={\max }_{i,j}|a_{i,j}|$. C'est la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ de ${\mathbb{R}}^{n^2}$ appliquée au vecteur des coefficients. On vérifie les trois axiomes :

• séparation : si ${\max }_{i,j}|a_{i,j}|=0$, tous les coefficients sont nuls, donc $A=0$ ;
• homogénéité : ${\max }_{i,j}|\lambda a_{i,j}|=|\lambda |{\max }_{i,j}|a_{i,j}|$ ;
• inégalité triangulaire : pour tous $i,j$, $|a_{i,j}+b_{i,j}|\le |a_{i,j}|+|b_{i,j}|\le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$ ; en passant au maximum, $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$.

Seconde norme : $\Vert A\Vert =\sqrt{\mathrm{tr}\left(A^{\top }A\right)}$. Au chapitre 3, on a vu que $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left(A^{\top }B\right)={\sum }_{i,j}{a}_{i,j}{b}_{i,j}$ est un produit scalaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Or la quantité $\sqrt{⟨A,A⟩}$ associée à un produit scalaire est toujours une norme : la séparation et l'homogénéité sont immédiates, et l'inégalité triangulaire découle de Cauchy-Schwarz : $$\Vert A+B{\Vert }^2=\Vert A{\Vert }^2+2⟨A,B⟩+\Vert B{\Vert }^2\le \Vert A{\Vert }^2+2\Vert A\Vert \Vert B\Vert +\Vert B{\Vert }^2=(\Vert A\Vert +\Vert B\Vert {)}^2.$$ Concrètement, $\Vert A\Vert =\sqrt{{\sum }_{i,j}{a}_{i,j}^2}$ est la norme euclidienne de ${\mathbb{R}}^{n^2}$.

Remarque. En dimension finie, ces deux normes sont équivalentes. Ici l'encadrement est explicite : ${\max }_{i,j}|a_{i,j}|\le \sqrt{{\sum }_{i,j}{a}_{i,j}^2}\le n{\max }_{i,j}|a_{i,j}|$.