Montrer que {x ∈ E : d(x, A) < ε} est un ouvert contenant A (image…

On suppose, comme il est implicite, $A$ non vide et $\epsilon >0$ ; on note $d(x,A)={\inf }_{a\in A}\Vert x-a\Vert$ et $U=\{x\in E:d(x,A)<\epsilon \}$.

La fonction distance est $1$-lipschitzienne. Soient $x,y\in E$. Pour tout $a\in A$, $d(x,A)\le \Vert x-a\Vert \le \Vert x-y\Vert +\Vert y-a\Vert$. Ainsi $d(x,A)-\Vert x-y\Vert \le \Vert y-a\Vert$ pour tout $a\in A$ : c'est un minorant de ces distances, et en passant à la borne inférieure, $$d(x,A)\le \Vert x-y\Vert +d(y,A).$$ En échangeant $x$ et $y$, on obtient $|d(x,A)-d(y,A)|\le \Vert x-y\Vert$. La fonction $x\mapsto d(x,A)$ est $1$-lipschitzienne, donc continue.

$U$ est ouvert. $U$ est l'image réciproque de l'ouvert $]-\infty ,\epsilon [$ de $\mathbb{R}$ par l'application continue $x\mapsto d(x,A)$ : c'est un ouvert de $E$.

$U$ contient $A$. Si $a\in A$, alors $d(a,A)\le \Vert a-a\Vert =0<\epsilon$, donc $a\in U$.

Autre lecture. $U={\bigcup }_{a\in A}B(a,\epsilon )$ est la réunion des boules ouvertes de rayon $\epsilon$ centrées aux points de $A$ (l'inégalité $d(x,A)<\epsilon$ signifie qu'il existe $a\in A$ avec $\Vert x-a\Vert <\epsilon$) : une réunion d'ouverts est ouverte, ce qui redonne le résultat.