Norme ou pas ?

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PSI), chapitre 5 — Espaces Vectoriels Normés et Topologie · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Les applications suivantes sont-elles des normes sur $R^{2}$ ? $N (x, y) = ∣ x ∣ + 2∣ y ∣, N^{'} (x, y) = ∣ x + y ∣, N^{''} (x, y) = x^{2} + y^{4} .$

Corrigé

$N$ : oui — séparation ( $∣ x ∣ + 2∣ y ∣ = 0 \Rightarrow x = y = 0$ ), homogénéité et inégalité triangulaire héritées de la valeur absolue.

$N^{'}$ : non — la séparation échoue : $N^{'} (1, - 1) = 0$ avec $(1, - 1) \neq = 0$ (c'est une semi-norme).

$N^{''}$ : non — l'homogénéité échoue : $N^{''} (0, λ) = λ^{2} \neq = ∣ λ ∣ \cdot 1 = ∣ λ ∣ N^{''} (0, 1)$ pour $λ = 2$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.