Vérifier que N(x, y) = max (|x|, 2|y| ) est une norme sur ℝ² et…

Norme. Pour $v=(x,y)$ et $v^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$ :

• séparation : $N(v)=0$ impose $|x|=0$ et $2|y|=0$, donc $v=0$ ;
• homogénéité : $N(\lambda v)=\max (|\lambda ||x|,2|\lambda ||y|)=|\lambda |N(v)$ ;
• inégalité triangulaire : $|x+x^{\prime }|\le |x|+|x^{\prime }|\le N(v)+N(v^{\prime })$ et $2|y+y^{\prime }|\le 2|y|+2|y^{\prime }|\le N(v)+N(v^{\prime })$ ; le maximum de ces deux quantités est donc aussi $\le N(v)+N(v^{\prime })$.

$N$ est bien une norme sur ${\mathbb{R}}^2$. On peut aussi le voir d'un coup : $N(v)=\Vert \phi (v){\Vert }_{\infty }$ avec $\phi (x,y)=(x,2y)$ linéaire et injective, et une norme composée avec une application linéaire injective reste une norme.

Boule unité. $N(x,y)\le 1⟺|x|\le 1$ et $|y|\le \frac{1}{2}$ : la boule unité fermée est le rectangle $[-1,1]\times \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$, de largeur $2$ et de hauteur $1$.

Comparaison avec le carré. La boule unité de $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ est le carré $[-1,1{]}^2$. Celle de $N$ en est l'image par $(x,y)\mapsto \left(x,\frac{y}{2}\right)$ : le carré est aplati d'un facteur $2$ dans la direction verticale et devient un rectangle de proportions $2:1$. Pénaliser $y$ par un poids $2$ rend la boule deux fois plus étroite dans cette direction. Ce dessin se traduit par l'encadrement $\Vert v{\Vert }_{\infty }\le N(v)\le 2\Vert v{\Vert }_{\infty }$ : le rectangle est contenu dans le carré et contient le carré de demi-côté $\frac{1}{2}$.