Convergence normale

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PSI), chapitre 7 — Suites et Séries de Fonctions · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Montrer que $f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{sin ( n x )}{n ^{2}}$ définit une fonction continue sur $R$ .

Corrigé

Pour tout $x$ : $\frac{s i n ( n x )}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}$ , indépendant de $x$ et de série convergente : la série converge normalement sur $R$ , donc uniformément, et chaque terme est continu : la somme $f$ est continue sur $R$ . (Trois lignes — la convergence normale est l'autoroute ; noter qu'on ne sait pas calculer $f$ , et qu'on n'en a pas besoin.)

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