Étude d'une somme — régularité et limites

Continuité : sur $[a,+\infty [$ ($a>1$ fixé), $n^{-x}\le n^{-a}$ : convergence normale, donc uniforme, et les termes sont continus — $\zeta$ est continue sur tout $[a,\infty [$, donc sur $]1,+\infty [$ (la continuité est locale).

Limite en $+\infty$ : la convergence est uniforme sur $[2,+\infty [$, et chaque terme a une limite en $+\infty$ : $1$ pour $n=1$, $0$ pour $n\ge 2$. Le théorème de la double limite s'applique : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\zeta (x)=\sum _{n\ge 1}\underset{x\to \infty }{\lim }{n}^{-x}=1+0+0+\cdots =1.$$ (Sans la double limite, intervertir $\lim$ et $\sum$ serait un acte de foi ; avec l'uniformité, c'est un théorème.)