Étudier la convergence normale de Σ (xⁿ)/n² sur [-1, 1] et de Σ 1/(n²…

On rappelle que $\sum f_n$ converge normalement sur $I$ si $\sum \Vert f_n{\Vert }_{\infty ,I}$ converge, où $\Vert f_n{\Vert }_{\infty ,I}={\sup }_{x\in I}|f_n(x)|$.

1) ${\sum }_{n\ge 1}\frac{x^n}{n^2}$ sur $[-1,1]$. Pour $|x|\le 1$, $\left|\frac{x^n}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}$, avec égalité en $x=1$ : $\Vert f_n{\Vert }_{\infty ,[-1,1]}=\frac{1}{n^2}$. Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (Riemann), la série converge normalement sur $[-1,1]$. En particulier sa somme est continue sur le segment fermé $[-1,1]$, bords compris.

2) ${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^2+x^2}$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, $0<\frac{1}{n^2+x^2}\le \frac{1}{n^2}$, avec égalité en $x=0$ : $\Vert f_n{\Vert }_{\infty ,\mathbb{R}}=\frac{1}{n^2}$, terme général d'une série convergente. La série converge normalement sur $\mathbb{R}$ tout entier, et sa somme est continue sur $\mathbb{R}$.

Méthode. Dans les deux cas, il a suffi de trouver la borne supérieure de $|f_n|$ (ici atteinte en un point évident) et de reconnaître une série de Riemann convergente. Quand la borne supérieure n'est pas évidente, on étudie les variations de $f_n$.