(⋆) Étudier la convergence normale sur ℝ, puis sur tout segment de ℝ…

Première série : $f_n(x)=\frac{nx}{n^3+x^2}$.

Sur $\mathbb{R}$. $f_n$ est impaire ; pour $x\ge 0$, $$f_n^{\prime }(x)=\frac{n(n^3+x^2)-nx\cdot 2x}{(n^3+x^2{)}^2}=\frac{n(n^3-x^2)}{(n^3+x^2{)}^2},$$ qui s'annule en $x=n^{3/2}$ : $f_n$ croît sur $[0,n^{3/2}]$ puis décroît vers $0$. D'où $$\Vert f_n{\Vert }_{\infty ,\mathbb{R}}=f_n\left(n^{3/2}\right)=\frac{n\cdot n^{3/2}}{2n^3}=\frac{1}{2\sqrt{n}}.$$ La série $\sum \frac{1}{2\sqrt{n}}$ diverge (Riemann, exposant $\frac{1}{2}\le 1$) : pas de convergence normale sur $\mathbb{R}$.

Sur un segment. Tout segment est inclus dans un $[-a,a]$ avec $a>0$. Pour $|x|\le a$, $|f_n(x)|\le \frac{na}{n^3}=\frac{a}{n^2}$, terme général d'une série convergente : convergence normale sur tout segment. La somme est donc continue sur $\mathbb{R}$, puisque la continuité est une propriété locale.

Seconde série : $g_n(x)=\frac{\arctan (nx)}{n^2}$. Pour tout réel $x$, $|g_n(x)|\le \frac{\pi }{2n^2}$, et $\sum \frac{\pi }{2n^2}$ converge : convergence normale sur $\mathbb{R}$ tout entier, donc a fortiori sur tout segment.

À retenir. Le maximum de $|f_n|$ sur $\mathbb{R}$ est atteint en $x=n^{3/2}$, point qui part à l'infini : c'est cette « bosse fuyante » qui empêche la convergence normale sur $\mathbb{R}$, alors que sur un segment elle est hors de portée.