La bosse glissante

Simple : $u_n(0)=0$ ; pour $x\in ]0,1]$, $n^2(1-x{)}^n\to 0$ (géométrique écrase polynôme) : $u_n(x)\to 0$.

Intégrale : par le changement $t=1-x$ puis intégration directe, $${\int }_0^1{n}^{2}x(1-x{)}^n\mathrm{d}x=n^2{\int }_0^1(1-t)t^n\mathrm{d}t=n^2\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{n^2}{(n+1)(n+2)}⟶1\ne 0.$$ Conclusion : l'intégrale de la limite ($0$) n'est pas la limite des intégrales ($1$) — la convergence n'est donc pas uniforme sur $[0,1]$ (sinon le théorème d'intégration s'appliquerait). La « bosse » de $u_n$, de plus en plus haute et étroite près de $0$, transporte une aire constante que la convergence simple ne voit pas : c'est le contre-exemple à méditer avant tout échange limite-intégrale.