La bosse glissante

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PSI), chapitre 7 — Suites et Séries de Fonctions · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Soit $u_{n} (x) = n^{2} x (1 - x)^{n}$ sur $[0, 1]$ . Montrer que $(u_{n})$ converge simplement vers $0$ , mais que $\int_{0}^{1} u_{n} \neq \to 0$ . Conclure.

Corrigé

Simple : $u_{n} (0) = 0$ ; pour $x \in] 0, 1]$ , $n^{2} (1 - x)^{n} \to 0$ (géométrique écrase polynôme) : $u_{n} (x) \to 0$ .

Intégrale : par le changement $t = 1 - x$ puis intégration directe, $\int_{0}^{1} n^{2} x (1 - x)^{n} d x = n^{2} \int_{0}^{1} (1 - t) t^{n} d t = n^{2} (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) = \frac{n ^{2}}{( n + 1 ) ( n + 2 )} ⟶ 1 \neq = 0.$ Conclusion : l'intégrale de la limite ( $0$ ) n'est pas la limite des intégrales ( $1$ ) — la convergence n'est donc pas uniforme sur $[0, 1]$ (sinon le théorème d'intégration s'appliquerait). La « bosse » de $u_{n}$ , de plus en plus haute et étroite près de $0$ , transporte une aire constante que la convergence simple ne voit pas : c'est le contre-exemple à méditer avant tout échange limite-intégrale.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.