La convergence uniforme se compose, la simple non

Stratégie. Les deux questions se règlent avec le même outil : la convergence uniforme fournit une majoration de l'écart $|u_n-u|$ qui ne dépend d'aucun point. C'est cela, et cela seul, qui permet d'évaluer l'écart en un point qui bouge avec $n$ — un point d'intégration $t^2$, ou un point mobile $x_n$.

Posons $${\epsilon }_n=\underset{s\in [0,1]}{\sup }\left|u_n(s)-u(s)\right|.$$ L'hypothèse de convergence uniforme sur $[0,1]$ s'écrit exactement ${\epsilon }_n\to 0$.

Préliminaire. $u$ est continue sur $[0,1]$, comme limite uniforme d'une suite de fonctions continues (théorème du cours). Ce point servira à la seconde question, et il n'est pas gratuit : c'est la première chose que la convergence simple ne donnerait pas.

Question 1 — le passage à la limite sous l'intégrale.

Pour $t\in [0,1]$, on a $t^2\in [0,1]$ : les fonctions $t\mapsto u_n(t^2)$ et $t\mapsto u(t^2)$ sont bien définies et continues sur $[0,1]$ (composées d'applications continues), donc intégrables. Alors $$\left|{\int }_0^1{u}_n(t^2)\mathrm{d}t-{\int }_0^{1}u(t^2)\mathrm{d}t\right|=\left|{\int }_0^1(u_n(t^2)-u(t^2))\mathrm{d}t\right|\le {\int }_0^1\left|u_n(t^2)-u(t^2)\right|\mathrm{d}t.$$ Or, pour chaque $t\in [0,1]$, le point $s=t^2$ appartient à $[0,1]$, donc $\left|u_n(t^2)-u(t^2)\right|\le {\epsilon }_n$ par définition du sup. D'où $$\left|{\int }_0^1{u}_n(t^2)\mathrm{d}t-{\int }_0^{1}u(t^2)\mathrm{d}t\right|\le {\int }_0^1{\epsilon }_n\mathrm{d}t={\epsilon }_n⟶0.$$ Donc ${\int }_0^1{u}_n(t^2)\mathrm{d}t\to {\int }_0^{1}u(t^2)\mathrm{d}t$.

(Le carré n'a joué aucun rôle particulier : l'argument vaut pour $t\mapsto u_n(\varphi (t))$ dès que $\varphi$ est continue et envoie $[0,1]$ dans $[0,1]$.)

Question 2 — le point mobile.

Soit $(x_n)$ une suite de $[0,1]$ convergeant vers $x\in [0,1]$. Coupons l'écart en deux, en introduisant la valeur intermédiaire $u(x_n)$ : $$\left|u_n(x_n)-u(x)\right|\le \underset{\le {\epsilon }_n}{\underbrace{\left|u_n(x_n)-u(x_n)\right|}}+\underset{\to 0}{\underbrace{\left|u(x_n)-u(x)\right|}}.$$

• Le premier terme est majoré par ${\epsilon }_n$ quel que soit le point $x_n$ : c'est le sup qui le permet, et il tend vers $0$ par hypothèse.
• Le second tend vers $0$ par continuité de $u$ en $x$ (préliminaire) et caractérisation séquentielle de la continuité.

Donc $u_n(x_n)\to u(x)$.

Le point délicat, et toute la leçon. Sous convergence simple, on ne dispose que de « $u_n(s)-u(s)\to 0$ à $s$ figé ». Or ici le point $x_n$ change à chaque rang : on n'a jamais deux fois le même $s$, et l'hypothèse simple ne dit rien. La convergence uniforme, elle, donne une majoration valable en tous les points à la fois, donc en particulier en un point qui se déplace.

Contre-exemple : la convergence simple ne suffit pas (question 2). Prenons $u_n(t)=t^n$ sur $[0,1]$ (l'exercice résolu 1). La limite simple $u$ vaut $0$ sur $[0,1[$ et $1$ en $1$ ; la convergence n'est pas uniforme. Choisissons $x_n=1-\frac{1}{n}\to 1=x$. Alors $$u_n(x_n)={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n⟶\frac{1}{e}\approx 0,3679,$$ alors que $u(x)=u(1)=1$. La composition n'a pas suivi.

Contrôle chiffré : ${\left(1-\frac{1}{100}\right)}^{100}=0,366032$ ; ${\left(1-\frac{1}{10^4}\right)}^{10^4}=0,3678610$ ; ${\left(1-\frac{1}{10^6}\right)}^{10^6}=0,3678793$ ; et $\frac{1}{e}=0,3678794$. La suite $u_n(x_n)$ tend bien vers $\frac{1}{e}$, et non vers $u(1)=1$. ✓

Contre-exemple : la convergence simple ne suffit pas non plus (question 1). Prenons $v_n(t)=n^{2}t(1-t{)}^n$ sur $[0,1]$, la « bosse glissante » de l'exercice résolu 4 : elle converge simplement vers $0$. Pourtant $${\int }_0^1{v}_n(t^2)\mathrm{d}t={\int }_0^1{n}^2{t}^2(1-t^2{)}^n\mathrm{d}t$$ vaut $1,175$ pour $n=10$, $4,349$ pour $n=100$ et $13,986$ pour $n=1000$ (croissance en $\sqrt{n}$ : le rapport entre les deux dernières lignes vaut $3,22$, à comparer à $\sqrt{10}=3,16$). Elle tend vers $+\infty$, alors que l'intégrale de la limite est nulle. Sans uniformité, la question 1 est fausse.