Le contre-exemple fondateur

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PSI), chapitre 7 — Suites et Séries de Fonctions · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Étudier les convergences simple et uniforme de $u_{n} (x) = x^{n}$ sur $[0, 1]$ , puis sur $[0, a]$ avec $0 < a < 1$ .

Corrigé

Simple sur $[0, 1]$ : $u_{n} (x) \to 0$ si $x < 1$ , $u_{n} (1) = 1$ — la limite simple est discontinue en $1$ .

Pas uniforme sur $[0, 1]$ : les $u_{n}$ sont continues et la limite ne l'est pas — la contraposée du théorème de continuité conclut sans calcul (ou : $sup_{[0, 1 [} ∣ x^{n} ∣ = 1 \neq \to 0$ ).

Uniforme sur $[0, a]$ : $sup_{[0, a]} ∣ x^{n} ∣ = a^{n} \to 0$ . Le scénario type : pas d'uniformité globale, uniformité sur tout segment évitant le point à problème — d'où le réflexe des « intervalles adaptés ».

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.