(⋆) Soit uₙ(x) = arctan (nx) sur ℝ. Déterminer la limite simple de…

Suites et Séries de Fonctions · A. Suites de fonctions : convergence simple, convergence uniforme · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Soit $u_{n} (x) = arctan (n x)$ sur $R$ . Déterminer la limite simple de $(u_{n})$ et montrer qu'elle est discontinue. En déduire que $(u_{n})$ ne converge uniformément sur aucun intervalle contenant $0$ , puis montrer qu'elle converge uniformément sur $[a, + \infty [$ pour tout $a > 0$ (la limite simple vaut $\frac{π}{2}$ sur $] 0, + \infty [$ , $0$ en $0$ , $- \frac{π}{2}$ sur $] - \infty, 0 [$ ; sur $[a, + \infty [$ , $u_{n} - \frac{π}{2}_{\infty} = \frac{π}{2} - arctan (na) \to 0$ — contrôle : $a = 0, 3$ et $n = 100$ donnent $0, 03332$ ).

Corrigé

Limite simple. À $x$ fixé :

si $x > 0$ , $n x \to + \infty$ , donc $u_{n} (x) \to \frac{π}{2}$ ;
si $x = 0$ , $u_{n} (0) = 0$ pour tout $n$ ;
si $x < 0$ , $n x \to - \infty$ , donc $u_{n} (x) \to - \frac{π}{2}$ .

La limite simple $f$ vaut $\frac{π}{2}$ sur $] 0, + \infty [$ , $0$ en $0$ et $- \frac{π}{2}$ sur $] - \infty, 0 [$ : elle est discontinue en $0$ .

Pas de convergence uniforme près de $0$ . Soit $I$ un intervalle contenant $0$ et non réduit à ${0}$ . Chaque $u_{n}$ est continue sur $I$ ; si $(u_{n})$ convergeait uniformément vers $f$ sur $I$ , la limite $f_{∣ I}$ serait continue sur $I$ . Or $I$ contient des points d'un côté au moins de $0$ , où $f$ vaut $\pm \frac{π}{2}$ , tandis que $f (0) = 0$ : $f_{∣ I}$ est discontinue en $0$ . Contradiction : la convergence n'est uniforme sur aucun tel intervalle.

Convergence uniforme sur $[a, + \infty [$ , $a > 0$ . Sur cet intervalle, $f = \frac{π}{2}$ , et $arctan$ est croissante, donc $x \geq a sup u_{n} (x) - \frac{π}{2} = x \geq a sup (\frac{π}{2} - arctan (n x)) = \frac{π}{2} - arctan (na) n \to + \infty 0.$ La convergence est uniforme sur $[a, + \infty [$ (et de même sur $] - \infty, - a]$ par imparité).

Contrôle. Pour $a = 0, 3$ et $n = 100$ : $\frac{π}{2} - arctan 30 = arctan \frac{1}{30} \approx 0, 03332$ .

(⋆) Soit uₙ(x) = arctan (nx) sur ℝ. Déterminer la limite simple de…

Énoncé

Corrigé

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