(⋆) Soit uₙ(x) = e⁻ⁿˣ sur ]0,+∞[. Calculer lim _x → 0⁺ uₙ(x) à n fixé…

Limite en $0^{+}$ à $n$ fixé. Pour chaque $n\ge 1$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}{e}^{-nx}=1$ (continuité de l'exponentielle).

Limite simple. Pour $x>0$ fixé, $e^{-nx}={\left(e^{-x}\right)}^n\to 0$ car $0<e^{-x}<1$. La limite simple est la fonction nulle sur $]0,+\infty [$, dont la limite en $0^{+}$ vaut $0$.

Les deux limites ne commutent pas. $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{u}_n(x)=1\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n(x)=0.$$

Hypothèse en défaut. Le théorème de la double limite demande : (i) que chaque $u_n$ ait une limite ${\ell }_n$ en $0^{+}$, et (ii) que $(u_n)$ converge uniformément vers sa limite sur un intervalle dont $0$ est une borne. La condition (i) est vérifiée (${\ell }_n=1$). C'est la condition (ii) qui manque : $$\Vert u_n-0{\Vert }_{\infty ,]0,+\infty [}=\underset{x>0}{\sup }{e}^{-nx}=1\text{pour tout }n,$$ borne supérieure approchée quand $x\to 0^{+}$, qui ne tend pas vers $0$.

Remarque. Pour tout $a>0$, ${\sup }_{x\ge a}{e}^{-nx}=e^{-na}\to 0$ : la convergence est uniforme sur $[a,+\infty [$. Mais $0$ n'est pas adhérent à cet intervalle, et le théorème ne dit rien en $0^{+}$. La convergence uniforme doit avoir lieu au voisinage du point où l'on prend la limite.