Une série de fonctions normalement convergente sur ℝ

Stratégie. Une seule majoration, mais bien choisie : il faut une borne du terme général indépendante de $x$ et de série convergente. La difficulté est que la majoration naïve échoue des deux côtés — trop grossière à l'infini, trop grossière en $0$. L'inégalité arithmético-géométrique combine les deux morceaux du dénominateur et produit la borne exacte.

Posons $f_n(x)=\frac{x}{n\left(1+n{x}^2\right)}$ pour $n\ge 1$. Chaque $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ : le dénominateur $n(1+n{x}^2)\ge n>0$ ne s'annule jamais.

Étape 1 — l'inégalité arithmético-géométrique. Pour $a,b\ge 0$, ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$ donne $a+b\ge 2\sqrt{ab}$. Avec $a=1$ et $b=n{x}^2$ : $$1+n{x}^2\ge 2\sqrt{n{x}^2}=2\sqrt{n}|x|.$$

Étape 2 — la majoration uniforme. Pour $x\ne 0$, le membre de droite est strictement positif, donc on peut inverser : $$\left|f_n(x)\right|=\frac{|x|}{n\left(1+n{x}^2\right)}\le \frac{|x|}{n\cdot 2\sqrt{n}|x|}=\frac{1}{2n^{3/2}}.$$ L'inégalité est encore vraie en $x=0$, où $f_n(0)=0$. Donc $$\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }\left|f_n(x)\right|\le \frac{1}{2n^{3/2}}.$$

Étape 3 — convergence normale sur $\mathbb{R}$ tout entier. La série ${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{2n^{3/2}}$ est une série de Riemann d'exposant $\frac{3}{2}>1$ (au facteur $\frac{1}{2}$ près) : elle converge. La série $\sum f_n$ converge donc normalement sur $\mathbb{R}$, donc uniformément sur $\mathbb{R}$, donc en particulier simplement : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Étape 4 — continuité. Chaque $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ et la série converge uniformément sur $\mathbb{R}$ : par le théorème de continuité de la somme d'une série de fonctions, $$\boxed{f\text{ est deˊfinie et continue sur }\mathbb{R}.}$$

Le point délicat — pourquoi les majorations naïves échouent. Il y a deux façons évidentes de majorer, et toutes deux ratent :

majoration	borne obtenue	où elle échoue
$1+n{x}^2\ge 1$	$\left|f_n(x)\right|\le \frac{|x|}{n}$	non bornée quand $|x|\to +\infty$
$1+n{x}^2\ge n{x}^2$	$\left|f_n(x)\right|\le \frac{1}{n^2|x|}$	explose quand $x\to 0$

Chacune jette l'un des deux termes du dénominateur, et se retrouve démunie là où le terme jeté était le plus grand. L'inégalité $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ les garde tous les deux — et elle donne le meilleur compromis possible, comme le montre l'étape suivante.

La borne est exacte. Le cas d'égalité dans $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ est $a=b$, ici $1=n{x}^2$, c'est-à-dire $x=\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$. Le sup de $\left|f_n\right|$ vaut donc exactement $\frac{1}{2n^{3/2}}$, atteint en ces deux points : la majoration n'est pas améliorable.

Contrôle. Pour $n=4$ : la borne annoncée vaut $\frac{1}{2\cdot 8}=0,0625$, atteinte en $x=\frac{1}{2}$, et l'on vérifie $$f_4\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1/2}{4\left(1+4\cdot \frac{1}{4}\right)}=\frac{1/2}{4\times 2}=\frac{1}{16}=0,0625.✓$$ Balayage numérique de $x$ sur $[-50,50]$ (à $400001$ points) pour $n$ allant de $1$ à $199$ : le rapport $$\frac{{\sup }_x\left|f_n(x)\right|}{1/(2n^{3/2})}$$ vaut $1,000$ pour chaque $n$, et aucune violation de la majoration n'est relevée. Enfin, la borne de $f$ elle-même : $$\left|f(x)\right|\le \sum _{n\ge 1}\frac{1}{2n^{3/2}}=1,30619\text{pour tout }x\in \mathbb{R}$$ (somme partielle jusqu'à $n=10^6$ : $1,30519$, reste de l'ordre de $10^{-3}$ par comparaison série-intégrale). La fonction $f$ est donc bornée sur $\mathbb{R}$ par $1,31$.