Uniforme sans être normale : une série alternée

Stratégie : séparer nettement deux modes qu'on confond à l'oral. La convergence normale se lit sur ${\sup }_x|f_n(x)|$ — et elle échoue. La convergence uniforme se lit sur le reste — et le théorème spécial des séries alternées en donne une majoration qui ne dépend pas de $x$. C'est le contre-exemple canonique à l'implication « uniforme $\Rightarrow$ normale », qui est fausse.

On pose, pour $n\ge 1$ et $x\in I=[0,+\infty [$, $$f_n(x)=\frac{(-1{)}^n}{n+x}.$$

1. Convergence simple sur $I$. Fixons $x\ge 0$ et posons $a_n(x)=\frac{1}{n+x}>0$. La suite $(a_n(x){)}_{n\ge 1}$ est décroissante (le dénominateur croît) et tend vers $0$. Le théorème spécial des séries alternées (TSSA) s'applique : la série $\sum (-1{)}^n{a}_n(x)$ converge. Donc $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,+\infty [$. Notons $S$ sa somme et $R_N(x)={\sum }_{n=N+1}^{+\infty }{f}_n(x)$ son reste.

2. Convergence uniforme sur $I$. Le TSSA ne donne pas seulement la convergence : il majore le reste par la valeur absolue du premier terme négligé. Ici, pour tout $N\ge 0$ et tout $x\ge 0$ : $$|R_N(x)|=\left|\sum _{n=N+1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{n+x}\right|\le a_{N+1}(x)=\frac{1}{N+1+x}\le \frac{1}{N+1},$$ la dernière majoration parce que $x\ge 0$. Le majorant $\frac{1}{N+1}$ ne dépend plus de $x$, donc $$\underset{x\ge 0}{\sup }|R_N(x)|\le \frac{1}{N+1}\underset{N\to +\infty }{\to }0.$$ La série converge uniformément sur $[0,+\infty [$ tout entier.

3. Pas de convergence normale. Pour $n$ fixé, $x\mapsto \frac{1}{n+x}$ est décroissante sur $[0,+\infty [$, donc $$\underset{x\ge 0}{\sup }|f_n(x)|=\frac{1}{n+0}=\frac{1}{n},$$ et ${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n}$ est la série harmonique, divergente. Donc $\sum f_n$ ne converge pas normalement sur $[0,+\infty [$.

Et ce n'est pas une affaire de mauvais intervalle : sur $[a,+\infty [$ avec $a\ge 0$, le sup vaut $\frac{1}{n+a}\sim \frac{1}{n}$, dont la série diverge encore ; sur un segment $[0,b]$, il vaut aussi $\frac{1}{n}$. La série ne converge normalement sur aucun intervalle non trivial. L'uniformité, elle, tient partout.

4. Pourquoi les deux notions divergent ici. La convergence normale majore chaque terme en oubliant son signe : elle ramène la question à $\sum \frac{1}{n}$, qui diverge. La convergence uniforme, elle, regarde le reste, où les signes alternés se compensent deux à deux. Le TSSA est précisément l'outil qui exploite cette compensation. C'est le mécanisme général : les séries alternées sont le territoire naturel de l'uniforme sans la normale.

(La compensation ne s'obtient ici que par le TSSA, énoncé du cours dont on vérifie les trois hypothèses — signe alterné, décroissance en $n$, limite nulle — et dont on utilise la majoration du reste.)

5. Ce qu'on en tire sur la somme. Chaque $f_n$ est continue sur $[0,+\infty [$ et la convergence y est uniforme : $S$ est continue sur $[0,+\infty [$. De plus, chaque $f_n(x)\to 0$ quand $x\to +\infty$, et $\sum 0$ converge : le théorème de la double limite (au programme ; sa démonstration ne l'est pas) donne $$\underset{x\to +\infty }{\lim }S(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_n(x)=0.$$

Contrôle chiffré. Sommes partielles $S_N(x)={\sum }_{n=1}^N\frac{(-1{)}^n}{n+x}$ et écart à la somme :

$x$	$S(x)$	$|S(x)-S_{10}(x)|$	borne $\frac{1}{11}$	$|S(x)-S_{100}(x)|$	borne $\frac{1}{101}$
$0$	$-0,6931471806$	$4,75\cdot 10^{-2}$	$9,09\cdot 10^{-2}$	$4,98\cdot 10^{-3}$	$9,90\cdot 10^{-3}$
$1$	$-0,3068528194$	$4,34\cdot 10^{-2}$	$9,09\cdot 10^{-2}$	$4,93\cdot 10^{-3}$	$9,90\cdot 10^{-3}$
$10$	$-0,0475122599$	$2,44\cdot 10^{-2}$	$9,09\cdot 10^{-2}$	$4,53\cdot 10^{-3}$	$9,90\cdot 10^{-3}$

La borne $\frac{1}{N+1}$ tient pour les trois valeurs de $x$ avec le même $N$ : c'est exactement ce que signifie l'uniformité. On reconnaît au passage $S(0)={\sum }_{n\ge 1}\frac{(-1{)}^n}{n}=-\ln 2=-0,6931471806$.

Face au sup : ${\sum }_{n=1}^{100}{\sup }_x|f_n|={\sum }_{n=1}^{100}\frac{1}{n}=5,187$, et cette somme croît indéfiniment comme $\ln N$ — la convergence normale échoue sans appel.

Acquis. Normale $\Rightarrow$ uniforme $\Rightarrow$ simple, et aucune réciproque. Devant une série de fonctions dont le terme général alterne, le réflexe est : sup pour tester la normale, TSSA sur le reste pour obtenir l'uniforme.