Calcul de l'Intégrale de Gauss

1. Continuité et valeur en 0 : Pour tout $x\ge 0$ et $t\ge 0$ : $$|f(x,t)|=\frac{{\mathrm{e}}^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\le \frac{1}{1+t^2}=\phi (t).$$ Comme ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=[\arctan t{]}_0^{+\infty }=\frac{\pi }{2}<+\infty$, l'hypothèse de domination globale est vérifiée sur $[0,+\infty [$. $F$ est donc continue sur $[0,+\infty [$ et $F(0)={\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\frac{\pi }{2}$.

2. Limite en $+\infty$ : Pour tout $t>0$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x,t)=0$. Par convergence dominée avec la même dominante $\phi \in L^1$ : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)={\int }_0^{+\infty }0\mathrm{d}t=0.$$

3. Dérivation sur $]0,+\infty [$ : Pour tout $x>0$, $\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)=-{\mathrm{e}}^{-x(1+t^2)}=-{\mathrm{e}}^{-x}{\mathrm{e}}^{-x{t}^2}$. Pour tout segment $[a,b]\subset ]0,+\infty [$ ($a>0$) : $$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\le {\mathrm{e}}^{-a(1+t^2)}=\psi (t)\in L^1([0,+\infty [).$$ Par le théorème de Leibniz, $F$ est ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\infty [$ et : $$F^{\prime }(x)={\int }_0^{+\infty }-{\mathrm{e}}^{-x(1+t^2)}\mathrm{d}t=-{\mathrm{e}}^{-x}{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-(\sqrt{x}t{)}^2}\mathrm{d}t.$$ En effectuant le changement de variable $u=\sqrt{x}t$ ($\mathrm{d}u=\sqrt{x}\mathrm{d}t$) : $$F^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}\frac{1}{\sqrt{x}}{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=-I\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{\sqrt{x}}.$$

4. Calcul de l'intégrale de Gauss : En intégrant $F^{\prime }$ entre $0$ et $+\infty$ : $$F(+\infty )-F(0)={\int }_0^{+\infty }{F}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=-I{\int }_0^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x.$$ Dans l'intégrale de droite, on pose $x=v^2$ ($\mathrm{d}x=2v\mathrm{d}v$) : $${\int }_0^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-v^2}}{v}(2v\mathrm{d}v)=2{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-v^2}\mathrm{d}v=2I.$$ Ainsi : $$0-\frac{\pi }{2}=-I(2I)=-2I^2⟹2I^2=\frac{\pi }{2}⟹I^2=\frac{\pi }{4}.$$ Comme $I>0$, on obtient la formule universelle : $$I={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\left(\text{et }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\sqrt{\pi }\right).$$