Décroissance et intégrabilité forcent xf(x) → 0

Stratégie : transporter « aire petite au loin » vers « valeur petite au loin ». L'intégrabilité seule ne contrôle jamais la valeur ponctuelle ; c'est la décroissance qui fait le lien. On minore donc $f(x)$ par une aire, sur un intervalle dont la longueur croît avec $x$ — c'est ce facteur de longueur qui produira le $x$ de $xf(x)$. La seconde question montre qu'en enlevant la décroissance, tout s'effondre.

1. Minoration de $f(x)$ par une aire. Soit $x\ge 2$. Sur $[x/2,x]\subset [1,+\infty [$, la décroissance de $f$ donne $f(t)\ge f(x)$ pour tout $t\in [x/2,x]$. En intégrant sur cet intervalle, de longueur $x/2$, et en utilisant $f\ge 0$ :

$${\int }_{x/2}^{x}f(t)\mathrm{d}t\ge \frac{x}{2}f(x)\ge 0.$$

2. Le membre de gauche tend vers $0$. $f$ est intégrable sur $[1,+\infty [$, donc $F:x\mapsto {\int }_1^{x}f$ admet une limite finie $L$ en $+\infty$ (c'est la convergence de l'intégrale). Comme $x/2\to +\infty$ en même temps que $x$ :

$${\int }_{x/2}^{x}f=F(x)-F(x/2)\underset{x\to +\infty }{\to }L-L=0.$$

3. Conclusion. L'encadrement $0\le \frac{x}{2}f(x)\le {\int }_{x/2}^{x}f$ et le théorème des gendarmes donnent $\frac{x}{2}f(x)\to 0$, donc, en multipliant par $2$ :

$$xf(x)\underset{x\to +\infty }{\to }0,\text{autrement dit }f(x)=o\left(\frac{1}{x}\right).$$

Le point délicat est le choix de l'intervalle. Avec $[x-1,x]$, de longueur fixe, on n'obtiendrait que $f(x)\to 0$ : c'est la longueur $x/2$, proportionnelle à $x$, qui fabrique le facteur $x$. Et le résultat est optimal au sens strict : $f(x)=o(1/x)$ est vrai, mais $f(x)=O(1/x^{1+\epsilon })$ est faux en général.

4. Sans la décroissance : des bosses de plus en plus fines. Pour $n\ge 1$, soit $g_n$ la fonction affine par morceaux, nulle hors de $\left[n-2^{-n-1},n+2^{-n-1}\right]$, valant $1$ en $n$ et $0$ aux deux extrémités de cet intervalle : c'est un triangle de hauteur $1$ et de base $2^{-n}$. Comme $2^{-n-1}\le 1/4$, les supports sont deux à deux disjoints. On pose

$$f=\sum _{n\ge 1}{g}_n.$$

En chaque point, un terme au plus est non nul : la somme est bien définie, positive, et continue sur $[0,+\infty [$ (chaque $g_n$ est continue et s'annule au bord de son support, et les supports sont disjoints).

• Intégrabilité : l'aire d'un triangle vaut $\frac{1}{2}\times \text{base}\times \text{hauteur}=\frac{1}{2}\cdot 2^{-n}\cdot 1=2^{-n-1}$. Donc pour tout $x\ge 0$, ${\int }_0^{x}f\le {\sum }_{n\ge 1}{2}^{-n-1}=\frac{1}{2}$ : la fonction croissante $x\mapsto {\int }_0^{x}f$ est majorée, donc $f$ est intégrable, avec ${\int }_0^{+\infty }f=\frac{1}{2}$.
• Pas de limite nulle : $f(n)=1$ pour tout $n\ge 1$, donc $f$ ne tend pas vers $0$ en $+\infty$ (et a fortiori $xf(x)$ non plus, puisque $nf(n)=n\to +\infty$).

Contrôle. L'aire totale vaut exactement ${\sum }_{n\ge 1}{2}^{-n-1}=\frac{1/4}{1-1/2}=\frac{1}{2}$, finie, alors que $f$ prend la valeur $1$ arbitrairement loin : l'intégrabilité ne dit rien de la limite ponctuelle. Aucune contradiction avec la partie 1 : cette $f$ n'est évidemment pas décroissante. Et l'on peut vérifier que la partie 1 s'applique bien à $f(t)=1/t^2$ (positive, décroissante, intégrable sur $[1,+\infty [$) : $tf(t)=1/t\to 0$ ✓.

Ce qui est acquis. Une intégrale convergente ne contraint la valeur ponctuelle qu'assortie d'une hypothèse de régularité (ici la monotonie) ; et le contre-exemple canonique — des bosses de hauteur fixe et de largeur sommable — est à connaître, il resservira pour les suites de fonctions.