Deux calculs directs

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PSI), chapitre 9 — Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Montrer la convergence et calculer : $\int_{0}^{+ \infty} t e^{- t} d t$ et $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{1 + t ^{2}}$ .

Corrigé

$t e^{- t} = o (1/ t^{2})$ en $+ \infty$ : intégrable. Intégration par parties (crochet $[- t e^{- t}]_{0}^{+ \infty} = 0$ , limites finies) : $\int_{0}^{+ \infty} t e^{- t} d t = 0 + \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = 1.$ Pour la seconde : $\frac{1}{1 + t ^{2}} \sim \frac{1}{t ^{2}}$ en $+ \infty$ , intégrable, et $\int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t ^{2}} = Arctan x \to \frac{π}{2}$ . (Deux modèles : IPP avec crochet contrôlé, et primitive explicite.)

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