L'intégrale de Gauss

Cadre : $e^{-t^2}\le e^{-t}$ pour $t\ge 1$ : l'intégrale de Gauss converge. Notons $G(x)={\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$ et $H(x)$ la seconde intégrale. Dérivées : $G^2$ a pour dérivée $2e^{-x^2}G(x)$ (chapitre 7). Pour $H$, on dérive sous l'intégrale (la dérivée en $x$, $-2x{e}^{-x^2(1+t^2)}$, est continue en $(x,t)$ et dominée sur tout segment $[0,b]$ par la constante intégrable $2b$ sur $[0,1]$) : $$H^{\prime }(x)={\int }_0^1(-2x)e^{-x^2(1+t^2)}\mathrm{d}t=-2e^{-x^2}{\int }_0^{1}x{e}^{-x^2{t}^2}\mathrm{d}t=-2e^{-x^2}{\int }_0^x{e}^{-u^2}\mathrm{d}u(u=xt).$$ Donc $F^{\prime }=2e^{-x^2}G-2e^{-x^2}G=0$ : $F$ est constante sur $[0,+\infty [$. Deux évaluations : $F(0)=0+{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\frac{\pi }{4}$. Quand $x\to +\infty$ : $0\le H(x)\le e^{-x^2}{\int }_0^1\mathrm{d}t\to 0$, donc $F(x)\to ({\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2}{)}^2$. D'où $({\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2}{)}^2=\frac{\pi }{4}$, et l'intégrale étant positive : $${\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$$ (Au passage : $\Gamma (\frac{1}{2})={\int }_0^{\infty }{t}^{-1/2}{e}^{-t}\mathrm{d}t=2{\int }_0^{\infty }{e}^{-u^2}\mathrm{d}u=\sqrt{\pi }$ par $t=u^2$ — la valeur la plus célèbre de $\Gamma$, et la constante de la loi normale en probabilités.)