L'intégrale de Planck

Nature : en $0$, $\frac{t}{e^t-1}\to 1$ (faux problème) ; en $+\infty$, $\sim t{e}^{-t}$, intégrable. Développement : pour $t>0$, $e^{-t}\in ]0,1[$ et $$\frac{t}{e^t-1}=\frac{t{e}^{-t}}{1-e^{-t}}=\sum _{n=1}^{+\infty }t{e}^{-nt}\text{(seˊrie geˊomeˊtrique)}.$$ Échange : les $f_n(t)=t{e}^{-nt}$ sont positives, intégrables, de somme continue sur $]0,+\infty [$ : le théorème d'intégration terme à terme (cas positif) s'applique sans aucune autre vérification, et avec $u=nt$ : $${\int }_0^{+\infty }t{e}^{-nt}\mathrm{d}t=\frac{1}{n^2}{\int }_0^{+\infty }u{e}^{-u}\mathrm{d}u=\frac{1}{n^2}(\text{exercice 2}),$$ $$\text{d’ouˋ}{\int }_0^{+\infty }\frac{t}{e^t-1}\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$ (L'intégrale du rayonnement du corps noir — le cadre positif rend l'échange somme-intégrale gratuit.)