La limite du binôme — convergence dominée

Posons $f_n(t)=(1-\frac{t}{n}{)}^n{1}_{[0,n]}(t)$ sur $I=[0,+\infty [$, de sorte que ${\int }_0^n={\int }_I{f}_n$. Convergence simple : à $t$ fixé, pour $n>t$, $f_n(t)=e^{n\ln (1-t/n)}\to e^{-t}$. Domination : $\ln (1-u)\le -u$ pour $u\in [0,1[$ donne $n\ln (1-\frac{t}{n})\le -t$, donc $0\le f_n(t)\le e^{-t}=\phi (t)$, intégrable et indépendante de $n$. Par convergence dominée : ${\int }_I{f}_n\to {\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}\mathrm{d}t=1$. Contrôle : ici le calcul exact est possible, ${\int }_0^n(1-\frac{t}{n}{)}^n\mathrm{d}t=\frac{n}{n+1}\to 1$ — le théorème est vérifié sur pièce. (L'intervalle d'intégration qui dépend de $n$ se gère toujours ainsi : prolonger par $0$ et travailler sur un intervalle fixe.)