Les factorielles par récurrence

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PSI), chapitre 9 — Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Montrer que pour tout $n \in N$ : $\int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t = n!$ .

Corrigé

Intégrabilité : $t^{n} e^{- t} = o (1/ t^{2})$ en $+ \infty$ . Posons $I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t$ . Intégration par parties, avec crochet $[- t^{n} e^{- t}]_{0}^{+ \infty} = 0$ pour $n \geq 1$ (limites finies, nulles aux deux bornes) : $I_{n} = n \int_{0}^{+ \infty} t^{n - 1} e^{- t} d t = n I_{n - 1},$ et $I_{0} = 1$ : par récurrence, $I_{n} = n!$ . (C'est $Γ (n + 1) = n!$ : la fonction $Γ$ de l'exercice 8 interpole la factorielle — première intégrale eulérienne du chapitre.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.