Montrer que t ↦ (sin t)/t² est intégrable sur [1, +∞[ et que t ↦…

1) $t\mapsto \frac{\sin t}{t^2}$ sur $[1,+\infty [$. La fonction est continue sur $[1,+\infty [$. On la domine : $$\left|\frac{\sin t}{t^2}\right|\le \frac{1}{t^2},$$ et $t\mapsto \frac{1}{t^2}$ est intégrable sur $[1,+\infty [$ (Riemann, exposant $2>1$). Par comparaison, $t\mapsto \frac{\sin t}{t^2}$ est intégrable sur $[1,+\infty [$. On a montré l'intégrabilité, c'est-à-dire la convergence de l'intégrale de la valeur absolue : c'est plus fort que la simple convergence.

2) $t\mapsto \frac{1}{1+t^2}$ sur $\mathbb{R}$. La fonction est continue, positive et paire : il suffit d'établir l'intégrabilité sur $[0,+\infty [$, celle sur $]-\infty ,0]$ s'en déduisant par symétrie. Sur le segment $[0,1]$, la fonction est continue, donc intégrable. Sur $[1,+\infty [$, on a $0\le \frac{1}{1+t^2}\le \frac{1}{t^2}$, fonction intégrable. Donc $t\mapsto \frac{1}{1+t^2}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$.

Valeur. Une primitive est $\arctan$, d'où $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\underset{X\to +\infty }{\lim }(\arctan X-\arctan (-X))=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi .$$