Nature de ∫₀^+∞ dt/(t² + √t) (deux bornes : en 0, ∼ 1/√t, Riemann 1/2…

La fonction $f:t\mapsto \frac{1}{t^2+\sqrt{t}}$ est continue et positive sur $]0,+\infty [$. L'intégrale est impropre aux deux bornes : on coupe en $1$ et l'on étudie chaque morceau séparément. Pour des fonctions positives, un équivalent suffit.

En $0$. Quand $t\to 0^{+}$, $t^2=o(\sqrt{t})$, donc $f(t)\sim \frac{1}{\sqrt{t}}=\frac{1}{t^{1/2}}$. L'exposant $\frac{1}{2}<1$ : $t\mapsto t^{-1/2}$ est intégrable sur $]0,1]$ (Riemann en $0$), donc $f$ aussi.

En $+\infty$. Quand $t\to +\infty$, $\sqrt{t}=o(t^2)$, donc $f(t)\sim \frac{1}{t^2}$. L'exposant $2>1$ : $t\mapsto t^{-2}$ est intégrable sur $[1,+\infty [$ (Riemann en $+\infty$), donc $f$ aussi.

Conclusion. $f$ est intégrable sur $]0,1]$ et sur $[1,+\infty [$ : l'intégrale ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^2+\sqrt{t}}$ est convergente. Une valeur approchée est $2,418$.

Attention aux exposants de Riemann. En $0$, il faut un exposant $<1$ ; en $+\infty$, un exposant $>1$. Les deux conditions sont opposées, d'où la nécessité de traiter chaque borne à part.