Pour a > 0 et b ∈ ℝ, calculer ∫₀^+∞ e⁻ᵃᵗcos (bt) dt (passer en…

Existence. Pour $t\ge 0$, $\left|e^{-at}\cos (bt)\right|\le e^{-at}$, et $t\mapsto e^{-at}$ est intégrable sur $[0,+\infty [$ puisque $a>0$. L'intégrale converge absolument.

Passage en complexes. On a $\cos (bt)=\mathrm{Re}\left(e^{ibt}\right)$, donc $e^{-at}\cos (bt)=\mathrm{Re}\left(e^{-(a-ib)t}\right)$. Pour $X>0$, $${\int }_0^X{e}^{-(a-ib)t}\mathrm{d}t={\left[\frac{e^{-(a-ib)t}}{-(a-ib)}\right]}_0^X=\frac{1-e^{-(a-ib)X}}{a-ib}.$$ Or $\left|e^{-(a-ib)X}\right|=e^{-aX}\to 0$ quand $X\to +\infty$. Donc $${\int }_0^{+\infty }{e}^{-(a-ib)t}\mathrm{d}t=\frac{1}{a-ib}=\frac{a+ib}{a^2+b^2}.$$

Conclusion. La partie réelle d'une intégrale est l'intégrale de la partie réelle, d'où $${\int }_0^{+\infty }{e}^{-at}\cos (bt)\mathrm{d}t=\frac{a}{a^2+b^2}.$$ La partie imaginaire donne gratuitement ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-at}\sin (bt)\mathrm{d}t=\frac{b}{a^2+b^2}$.

Contrôles. Pour $b=0$, on retrouve ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-at}\mathrm{d}t=\frac{1}{a}$. Pour $a=2$, $b=3$, on obtient $\frac{2}{13}$, valeur confirmée par un calcul symbolique. C'est la transformée de Laplace de $\cos (b\cdot )$ évaluée en $a$.