Un changement de variable qui fait tout

Nature : en $0$, $\frac{\ln t}{1+t^2}\sim \ln t$ et $\ln t=o\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right)$ : intégrable. En $+\infty$, $\frac{\ln t}{1+t^2}\sim \frac{\ln t}{t^2}=o\left(\frac{1}{t^{3/2}}\right)$ : intégrable. Calcul : le changement de variable $u=1/t$ (bijectif, strictement décroissant, ${\mathcal{C}}^1$ de $]0,+\infty [$ sur lui-même), $\mathrm{d}t=-\frac{\mathrm{d}u}{u^2}$ : $$I={\int }_0^{+\infty }\frac{\ln t}{1+t^2}\mathrm{d}t={\int }_0^{+\infty }\frac{-\ln u}{1+\frac{1}{u^2}}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{u^2}=-{\int }_0^{+\infty }\frac{\ln u}{1+u^2}\mathrm{d}u=-I,$$ d'où $I=0$. (La symétrie $t\leftrightarrow 1/t$ échange les contributions de $]0,1[$ et $]1,+\infty [$, qui se compensent exactement — un calcul sans aucune primitive.)