Calculer V(1, 2, 3, 4) (réponse : 12) et V(1, j, j²) où j = e^2iπ/3…

On utilise $V(x_1,\dots ,x_n)={\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$ (lignes $(1,x_i,x_i^2,\dots )$).

Premier calcul. $$V(1,2,3,4)=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1=12.$$

Second calcul. $V(1,j,j^2)=(j-1)(j^2-1)(j^2-j)$, avec $j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $j^2=\bar{j}$. Les trois facteurs sont $$j-1=-\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{e}^{5i\pi /6},j^2-1=\overline{j-1}=\sqrt{3}{e}^{-5i\pi /6},j^2-j=-i\sqrt{3}=\sqrt{3}{e}^{-i\pi /2}.$$ Le module du produit vaut $(\sqrt{3}{)}^3=3\sqrt{3}$ et son argument $\frac{5\pi }{6}-\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$. Donc $V(1,j,j^2)=3\sqrt{3}{e}^{-i\pi /2}=-3\sqrt{3}i$.

Si l'on remplace $j^2$ par $1$, le déterminant devient $V(1,j,1)=0$. C'était prévisible sans calcul : la première et la troisième ligne, $(1,1,1)$, sont égales ; c'est aussi le facteur $x_3-x_1=1-1=0$ du produit. Un Vandermonde est nul dès que deux points coïncident.