Dans E = ℂₙ[X], on pose, pour k ∈ {0, 1, 2}, Fₖ = Vect (Xʲ : 0 ≤ j ≤…

Questions traitées (celles de l'exercice complet) : 1) montrer que $E=F_0\oplus F_1\oplus F_2$ et vérifier les dimensions pour $n=7$ ; 2) pour $\omega =e^{2i\pi /3}$ et $u:P\mapsto P(\omega X)$, montrer que chaque $F_k$ est stable par $u$, identifier l'endomorphisme induit et écrire la matrice de $u$ dans une base adaptée.

1) Chaque entier $j\in \{0,\dots ,n\}$ a un unique reste $k\in \{0,1,2\}$ dans la division par $3$. La base canonique $(1,X,\dots ,X^n)$ de $E$ est donc la réunion disjointe des trois sous-familles ${\mathcal{B}}_k=(X^j{)}_{0\le j\le n,j\equiv k[3]}$, et ${\mathcal{B}}_k$ est une base de $F_k$ (libre comme sous-famille d'une famille libre, génératrice par définition). Une base de $E$ obtenue en recollant des bases des $F_k$ : c'est la caractérisation d'une somme directe par base adaptée, d'où $E=F_0\oplus F_1\oplus F_2$.

Pour $n=7$ : $F_0=\mathrm{Vect}(1,X^3,X^6)$, $F_1=\mathrm{Vect}(X,X^4,X^7)$, $F_2=\mathrm{Vect}(X^2,X^5)$, et $3+3+2=8=\dim {\mathbb{C}}_7[X]$.

2) $u$ est linéaire et $u(X^j)={\omega }^j{X}^j$. Si $j\equiv k[3]$, on écrit $j=3m+k$ et ${\omega }^j=({\omega }^3{)}^m{\omega }^k={\omega }^k$ puisque ${\omega }^3=1$. Ainsi $u(P)={\omega }^{k}P$ pour tout $P\in F_k$ : $F_k$ est stable par $u$ et l'endomorphisme induit est l'homothétie de rapport ${\omega }^k$. Dans la base adaptée $({\mathcal{B}}_0,{\mathcal{B}}_1,{\mathcal{B}}_2)$, la matrice de $u$ est diagonale par blocs : $$\left(\begin{array}{ccc}{I}_{d_0}& 0& 0\\ 0& \omega I_{d_1}& 0\\ 0& 0& {\omega }^2{I}_{d_2}\end{array}\right),d_k=\dim F_k,$$ soit $d_0=d_1=3$ et $d_2=2$ pour $n=7$.