Dans Mₙ(𝕂), soient D le sous-espace des matrices diagonales, T⁺ celui…

Existence. Toute matrice $M=(m_{i,j})$ s'écrit $M=D+T^{+}+T^{-}$, où $D$ garde les coefficients $m_{i,i}$ (et met des zéros ailleurs), $T^{+}$ garde les $m_{i,j}$ avec $i<j$ et $T^{-}$ ceux avec $i>j$. On a $D\in \mathcal{D}$, $T^{+}\in {\mathcal{T}}^{+}$, $T^{-}\in {\mathcal{T}}^{-}$.

Unicité. Si $D+T^{+}+T^{-}=0$ avec $D\in \mathcal{D}$, $T^{+}\in {\mathcal{T}}^{+}$, $T^{-}\in {\mathcal{T}}^{-}$, regardons le coefficient d'indice $(i,j)$ : un seul des trois termes peut y être non nul (le premier si $i=j$, le deuxième si $i<j$, le troisième si $i>j$). Il est donc nul, et $D=T^{+}=T^{-}=0$. La somme est directe : ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})=\mathcal{D}\oplus {\mathcal{T}}^{+}\oplus {\mathcal{T}}^{-}$.

Base adaptée. On partitionne la base canonique $(E_{i,j})$ : $(E_{i,i}{)}_{1\le i\le n}$ est une base de $\mathcal{D}$, $(E_{i,j}{)}_{i<j}$ une base de ${\mathcal{T}}^{+}$ et $(E_{i,j}{)}_{i>j}$ une base de ${\mathcal{T}}^{-}$. Leur réunion est la base canonique : c'est une base adaptée à la décomposition.

Décompte. Il y a $n$ indices diagonaux et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2}$ couples $(i,j)$ avec $i<j$, autant avec $i>j$. On retrouve $$n+\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}=n+n(n-1)=n^2=\dim {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}).$$