Déduire de … que, pour toutes …, [ tr(ABC) =…

Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants · E. Trace · niveau 1 (application)

Énoncé

Déduire de $tr (A B) = tr (B A)$ que, pour toutes $A, B, C \in M_{n} (K)$ , $tr (A B C) = tr (B C A) = tr (C A B) .$ Montrer en revanche, sur l'exemple $A = E_{1, 1}$ , $B = E_{1, 2}$ , $C = E_{2, 1}$ dans $M_{2} (K)$ , que $tr (A B C) \neq = tr (B A C)$ (réponses : $1$ et $0$ ). La trace est invariante par permutation circulaire, pas par permutation quelconque : c'est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre.

Corrigé

Permutation circulaire. En appliquant $tr (M N) = tr (N M)$ avec $M = A$ et $N = B C$ , puis avec $M = A B$ et $N = C$ : $tr (A B C) = tr (A (B C)) = tr ((B C) A) = tr (B C A),$ $tr (A B C) = tr ((A B) C) = tr (C (A B)) = tr (C A B) .$

Contre-exemple pour une permutation quelconque. On utilise la règle $E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}$ . Avec $A = E_{1, 1}$ , $B = E_{1, 2}$ , $C = E_{2, 1}$ : $A B C = (E_{1, 1} E_{1, 2}) E_{2, 1} = E_{1, 2} E_{2, 1} = E_{1, 1}, tr (A B C) = 1,$ $B A C = (E_{1, 2} E_{1, 1}) E_{2, 1} = 0 \cdot E_{2, 1} = 0, tr (B A C) = 0.$ Donc $tr (A B C) \neq = tr (B A C)$ . Échanger deux facteurs voisins n'est pas une permutation circulaire : la trace n'est invariante que par rotation des facteurs, pas par une permutation quelconque.

Déduire de … que, pour toutes …, [ tr(ABC) =…

Énoncé

Corrigé

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