Déterminant triangulaire par blocs, et la formule qui n'existe pas

1. Le bloc inférieur gauche est nul : $M$ est triangulaire par blocs, $$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0_2& C\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 3\end{array}\right).$$ Le théorème du déterminant triangulaire par blocs donne $$\det M=\det (A)\det (C)=(6-1)\times (3-8)=5\times (-5)=-25.$$ Deux déterminants $2\times 2$ ont remplacé le développement d'un déterminant $4\times 4$ (soit $24$ termes) : c'est le seul énoncé de calcul par blocs que donne le programme, et il exige un bloc nul.

2. Prenons $n=p=2$ et $$A=D=I_2,B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\text{d’ouˋ}{M}^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right).$$ Les lignes $L_1$ et $L_4$ de $M^{\prime }$ sont égales, donc $\det M^{\prime }=0$ (le déterminant est alterné). Or la formule proposée donnerait $\det (A)\det (D)-\det (B)\det (C)=1\times 1-0\times 0=1\ne 0$ : elle est fausse.

Ce qu'il faut retenir. Le déterminant par blocs n'imite pas le déterminant $2\times 2$ : les blocs sont des matrices, elles ne commutent pas, et la formule $ad-bc$ n'a aucune raison de survivre. Une hypothèse la sauve pourtant — la commutation $CD=DC$ des deux blocs du bas —, et c'est l'objet d'un exercice plus loin dans cette séance.