L'opérateur aux différences, un drapeau de sous-espaces stables

1. La linéarité est immédiate. Si $P=a_d{X}^d+\dots$ est de degré $d\ge 1$, le développement de $P(X+1)$ a le même terme dominant $a_d{X}^d$, qui disparaît dans la différence : $\mathrm{deg}\Delta (P)\le d-1$. Donc $$\Delta ({\mathbb{R}}_k[X])\subset {\mathbb{R}}_{k-1}[X]\subset {\mathbb{R}}_k[X],$$ et l'on dispose d'un drapeau de sous-espaces stables $\{0\}\subset {\mathbb{R}}_0[X]\subset {\mathbb{R}}_1[X]\subset {\mathbb{R}}_2[X]\subset {\mathbb{R}}_3[X]$. Les images des vecteurs de $\mathcal{B}$ sont $$\Delta (1)=0,\Delta (X)=1,\Delta (X^2)=2X+1,\Delta (X^3)=3X^2+3X+1,$$ d'où, en rangeant ces images en colonnes, $${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(\Delta )=N=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 2& 3\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$ La base $\mathcal{B}$ étant adaptée à chacun des ${\mathbb{R}}_k[X]$, la traduction matricielle de la stabilité impose une matrice triangulaire supérieure ; la chute stricte du degré ajoute la nullité de la diagonale.

2. L'endomorphisme induit sur ${\mathbb{R}}_1[X]$ se lit dans le bloc $2\times 2$ supérieur gauche, $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ : c'est $a+bX⟼b$, la « dérivation discrète » d'une fonction affine. La diagonale de $N$ étant nulle, $\mathrm{tr}(\Delta )=0$.

3. Comme $\Delta$ fait chuter le degré d'au moins $1$, une récurrence immédiate donne ${\Delta }^k(E)\subset {\mathbb{R}}_{3-k}[X]$ pour $k\in [[0,4]]$, avec la convention ${\mathbb{R}}_{-1}[X]=\{0\}$ : donc ${\Delta }^4=0$ (on le vérifie sur $N$ : $N^4=0$). Le polynôme $X^4$ annule $\Delta$, mais son terme constant est nul — et de fait $\Delta$ n'est pas inversible, $\Delta (1)=0$. En revanche $T={\mathrm{id}}_E+\Delta$, et $$(\mathrm{id}+\Delta )\circ (\mathrm{id}-\Delta +{\Delta }^2-{\Delta }^3)=\mathrm{id}-{\Delta }^4={\mathrm{id}}_E,$$ la même identité valant dans l'autre ordre puisque deux polynômes de $\Delta$ commutent. Donc $T$ est inversible et $$T^{-1}={\mathrm{id}}_E-\Delta +{\Delta }^2-{\Delta }^3,$$ qui est bien un polynôme en $\Delta$, donc en $T=\mathrm{id}+\Delta$. Enfin $T(P(X-1))=P(X)$, donc $T^{-1}(P)=P(X-1)$.

Contrôle sur $P=X^3$. $\Delta (X^3)=3X^2+3X+1$, ${\Delta }^2(X^3)=6X+6$, ${\Delta }^3(X^3)=6$, d'où $$T^{-1}(X^3)=X^3-(3X^2+3X+1)+(6X+6)-6=X^3-3X^2+3X-1=(X-1{)}^3✓.$$