La trace est la seule forme linéaire qui ignore l'ordre des facteurs

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PT), chapitre 1 — Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Soit $φ : M_{n} (K) \to K$ une forme linéaire telle que $\forall (A, B) \in M_{n} (K)^{2}, φ (A B) = φ (B A) .$

Montrer qu'il existe $λ \in K$ tel que $φ = λ tr$ .
En déduire que $tr$ est l'unique telle forme vérifiant de plus $φ (I_{n}) = n$ .
Retrouver qu'aucun couple $(A, B)$ ne vérifie $A B - B A = I_{n}$ .

Corrigé

Stratégie. Une forme linéaire est déterminée par ses valeurs sur une base : il suffit de la faire parler sur la base canonique $(E_{ij})$ de $M_{n} (K)$ , en utilisant la règle de multiplication $E_{ij} E_{k l} = δ_{j k} E_{i l} .$

1. Les coefficients hors diagonale. Soient $i \neq = j$ . Alors $E_{ii} E_{ij} = δ_{ii} E_{ij} = E_{ij}, tandis que E_{ij} E_{ii} = δ_{j i} E_{ii} = 0 (car j \neq = i) .$ L'hypothèse appliquée au couple $(E_{ii}, E_{ij})$ donne alors $φ (E_{ij}) = φ (E_{ii} E_{ij}) = φ (E_{ij} E_{ii}) = φ (0) = 0.$

Les coefficients diagonaux sont tous égaux. Soient $i \neq = j$ . Alors $E_{ij} E_{j i} = δ_{j j} E_{ii} = E_{ii} et E_{j i} E_{ij} = δ_{ii} E_{j j} = E_{j j},$ donc $φ (E_{ii}) = φ (E_{ij} E_{j i}) = φ (E_{j i} E_{ij}) = φ (E_{j j})$ . Notons $λ$ cette valeur commune.

Conclusion. Pour $A = (a_{ij}) = \sum_{i, j} a_{ij} E_{ij}$ , la linéarité donne $φ (A) = i \neq = j \sum a_{ij} = 0 φ (E_{ij}) + i = 1 \sum n a_{ii} = λ φ (E_{ii}) = λ i = 1 \sum n a_{ii} = λ tr (A) .$

2. Réciproquement $tr$ vérifie bien les deux hypothèses. Et si $φ = λ tr$ vérifie $φ (I_{n}) = n$ , alors $λn = n$ , donc $λ = 1$ (car $n \neq = 0$ dans $K = R$ ou $C$ ) et $φ = tr$ . La trace n'est donc pas une définition arbitraire : elle est entièrement déterminée par trois exigences — être linéaire, ignorer l'ordre des facteurs, valoir $n$ en $I_{n}$ . C'est l'énoncé exact de ce qu'on entend en disant qu'elle est un invariant.

3. Si l'on avait $A B - B A = I_{n}$ , la linéarité de la trace et la relation $tr (A B) = tr (B A)$ donneraient $n = tr (I_{n}) = tr (A B) - tr (B A) = 0,$ ce qui est absurde puisque $n \geq 1$ et $K = R$ ou $C$ . Plus généralement, tout commutateur $A B - B A$ appartient à $ker (tr)$ , qui est un hyperplan de $M_{n} (K)$ ( $tr$ étant une forme linéaire non nulle) : les commutateurs ne remplissent jamais tout $M_{n} (K)$ .

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