Minorer la dimension d'une intersection, l'énoncé dual de Grassmann

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PT), chapitre 1 — Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants · A. Sommes directes de plusieurs sous-espaces

Énoncé

Soient $F_{1}, \dots, F_{p}$ des sous-espaces d'un espace $E$ de dimension $n$ . Montrer que $dim (i = 1 ⋂ p F_{i}) \geq i = 1 \sum p dim F_{i} - (p - 1) n$ (récurrence sur $p$ ; le cas $p = 2$ est la formule de Grassmann). En déduire que $p$ hyperplans de $E$ se coupent selon un sous-espace de dimension $\geq n - p$ , et que $n - 1$ hyperplans ne peuvent jamais avoir une intersection réduite à ${0}$ si $n \geq 2$ . C'est l'énoncé dual de l'inégalité du cours : l'une majore la dimension d'une somme, l'autre minore celle d'une intersection.

Corrigé

Stratégie. L'inégalité demandée n'est rien d'autre que la formule de Grassmann appliquée $p - 1$ fois. On l'établit d'abord pour $p = 2$ — c'est Grassmann lue à l'envers —, puis on empile les intersections une par une, chaque nouvelle intersection coûtant au plus $n$ dimensions.

1. Le cas $p = 2$ . La formule de Grassmann donne, pour deux sous-espaces $F_{1}, F_{2}$ de $E$ , $dim (F_{1} \cap F_{2}) = dim F_{1} + dim F_{2} - dim (F_{1} + F_{2}) .$ Or $F_{1} + F_{2}$ est un sous-espace de $E$ , donc $dim (F_{1} + F_{2}) \leq n$ . En reportant cette majoration, précédée du signe $-$ qui la renverse : $dim (F_{1} \cap F_{2}) \geq dim F_{1} + dim F_{2} - n,$ qui est l'inégalité annoncée au rang $p = 2$ .

2. Hérédité. Supposons l'inégalité acquise au rang $p \geq 2$ , et posons $G = ⋂_{i = 1}^{p} F_{i}$ . Le cas $p = 2$ appliqué au couple $(G, F_{p + 1})$ , puis l'hypothèse de récurrence appliquée à $dim G$ , donnent $dim (i = 1 ⋂ p + 1 F_{i}) = dim (G \cap F_{p + 1}) \geq dim G + dim F_{p + 1} - n \geq i = 1 \sum p dim F_{i} - (p - 1) n + dim F_{p + 1} - n,$ c'est-à-dire $\sum_{i = 1}^{p + 1} dim F_{i} - p n$ . La propriété est héréditaire : elle vaut pour tout $p \geq 2$ .

3. Le cas des hyperplans. Si chaque $F_{i}$ est un hyperplan, alors $dim F_{i} = n - 1$ et $dim (i = 1 ⋂ p F_{i}) \geq p (n - 1) - (p - 1) n = p n - p - p n + n = n - p .$ Pour $p = n - 1$ et $n \geq 2$ , la minoration vaut $1$ : l'intersection contient un vecteur non nul, elle n'est donc jamais réduite à ${0}$ . Il faut au moins $n$ hyperplans pour couper à l'origine.

Le point délicat. L'inégalité est une minoration, pas une égalité. Elle est atteinte pour les hyperplans de coordonnées $H_{i} = {x_{i} = 0}$ , dont l'intersection est de dimension $n - p$ exactement ; elle est largement stricte si les hyperplans sont tous égaux, l'intersection étant alors de dimension $n - 1$ quand la formule n'annonce que $n - p$ .

Le point à retenir. Posons $c_{i} = n - dim F_{i}$ , la codimension de $F_{i}$ . L'inégalité se relit alors $codim (i = 1 ⋂ p F_{i}) \leq i = 1 \sum p c_{i} :$ les codimensions s'ajoutent au plus. Sous cette forme, c'est l'énoncé qu'on utilise pour compter la dimension de l'ensemble des solutions de $p$ équations linéaires : chaque équation fait perdre au plus une dimension, et exactement une si elle est indépendante des précédentes.

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