Minorer la dimension d'une intersection, l'énoncé dual de Grassmann

Stratégie. L'inégalité demandée n'est rien d'autre que la formule de Grassmann appliquée $p-1$ fois. On l'établit d'abord pour $p=2$ — c'est Grassmann lue à l'envers —, puis on empile les intersections une par une, chaque nouvelle intersection coûtant au plus $n$ dimensions.

1. Le cas $p=2$. La formule de Grassmann donne, pour deux sous-espaces $F_1,F_2$ de $E$, $$\dim (F_1\cap F_2)=\dim F_1+\dim F_2-\dim (F_1+F_2).$$ Or $F_1+F_2$ est un sous-espace de $E$, donc $\dim (F_1+F_2)\le n$. En reportant cette majoration, précédée du signe $-$ qui la renverse : $$\dim (F_1\cap F_2)\ge \dim F_1+\dim F_2-n,$$ qui est l'inégalité annoncée au rang $p=2$.

2. Hérédité. Supposons l'inégalité acquise au rang $p\ge 2$, et posons $G={\bigcap }_{i=1}^p{F}_i$. Le cas $p=2$ appliqué au couple $(G,F_{p+1})$, puis l'hypothèse de récurrence appliquée à $\dim G$, donnent $$\dim \left(\bigcap _{i=1}^{p+1}{F}_i\right)=\dim (G\cap F_{p+1})\ge \dim G+\dim F_{p+1}-n\ge \sum _{i=1}^p\dim F_i-(p-1)n+\dim F_{p+1}-n,$$ c'est-à-dire ${\sum }_{i=1}^{p+1}\dim F_i-pn$. La propriété est héréditaire : elle vaut pour tout $p\ge 2$.

3. Le cas des hyperplans. Si chaque $F_i$ est un hyperplan, alors $\dim F_i=n-1$ et $$\dim \left(\bigcap _{i=1}^p{F}_i\right)\ge p(n-1)-(p-1)n=pn-p-pn+n=n-p.$$ Pour $p=n-1$ et $n\ge 2$, la minoration vaut $1$ : l'intersection contient un vecteur non nul, elle n'est donc jamais réduite à $\{0\}$. Il faut au moins $n$ hyperplans pour couper à l'origine.

Le point délicat. L'inégalité est une minoration, pas une égalité. Elle est atteinte pour les hyperplans de coordonnées $H_i=\{x_i=0\}$, dont l'intersection est de dimension $n-p$ exactement ; elle est largement stricte si les hyperplans sont tous égaux, l'intersection étant alors de dimension $n-1$ quand la formule n'annonce que $n-p$.

Le point à retenir. Posons $c_i=n-\dim F_i$, la codimension de $F_i$. L'inégalité se relit alors $$\mathrm{codim}\left(\bigcap _{i=1}^p{F}_i\right)\le \sum _{i=1}^p{c}_i:$$ les codimensions s'ajoutent au plus. Sous cette forme, c'est l'énoncé qu'on utilise pour compter la dimension de l'ensemble des solutions de $p$ équations linéaires : chaque équation fait perdre au plus une dimension, et exactement une si elle est indépendante des précédentes.