Recoller deux projecteurs quand une seule composée s'annule

Stratégie. Tout se déduit des trois seules relations disponibles : $p^2=p$, $q^2=q$ et $pq=0$. On calcule $r^2$ en développant les neuf produits, puis on obtient l'image et le noyau sans jamais résoudre de système : on montre que $r$ fixe $\mathrm{Im}p$ et $\mathrm{Im}q$ point par point, et l'on extrait $p(x)=0$ de la relation $r(x)=0$ en lui appliquant $p$.

1. $r$ est un projecteur. Développons $r^2=(p+q-qp)(p+q-qp)$ terme à terme, en utilisant $pq=0$ à chaque fois qu'un facteur $p$ précède un facteur $q$ : $$p^2=p,pq=0,-pqp=0,qp,q^2=q,-q^{2}p=-qp,-q{p}^2=-qp,-qpq=0,qpqp=0.$$ La somme vaut $p+qp+q-qp-qp=p+q-qp=r$. Donc $r^2=r$ : $r$ est un projecteur.

2. $r$ fixe $\mathrm{Im}p$ et $\mathrm{Im}q$. Soit $x=p(a)$. Alors $p(x)=x$ et $qp(x)=qp(p(a))=qp(a)=q(x)$, d'où $$r(x)=p(x)+q(x)-qp(x)=x+q(x)-q(x)=x.$$ Soit $y=q(b)$. Alors $p(y)=pq(b)=0$, $q(y)=y$ et $qp(y)=q(0)=0$, d'où $r(y)=0+y-0=y$. Ainsi $\mathrm{Im}p+\mathrm{Im}q\subset \mathrm{Im}r$.

Réciproquement, pour tout $x$, $$r(x)=p(x)+q(x-p(x))\in \mathrm{Im}p+\mathrm{Im}q,$$ d'où l'inclusion inverse. Enfin la somme est directe : si $z\in \mathrm{Im}p\cap \mathrm{Im}q$, alors $p(z)=z$ (car $z\in \mathrm{Im}p$ et $p$ est un projecteur) et $z=q(b)$ donne $p(z)=pq(b)=0$ ; donc $z=0$. D'où $$\mathrm{Im}r=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Im}q.$$

3. Le noyau. Soit $r(x)=0$. Appliquons $p$ à cette égalité : $$0=p(r(x))=p^2(x)+pq(x)-pqp(x)=p(x)+0-0=p(x).$$ C'est le point délicat : c'est $pq=0$ qui fait disparaître les deux derniers termes et isole $p(x)$. La relation $r(x)=0$ se réduit alors à $q(x)-q(p(x))=q(x)=0$. Réciproquement, si $p(x)=q(x)=0$, alors $r(x)=0+0-q(0)=0$. Donc $$\ker r=\ker p\cap \ker q.$$

Contrôle chiffré. Dans ${\mathbb{R}}^2$, prenons $P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $Q=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$ : on vérifie $P^2=P$, $Q^2=Q$, $PQ=0$, tandis que $QP=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -1& 0\end{array}\right)\ne 0$. Alors $R=P+Q-QP=I_2$, qui est bien un projecteur, avec $\mathrm{Im}R={\mathbb{R}}^2=\mathrm{Im}P\oplus \mathrm{Im}Q$ et $\ker R=\{0\}=\ker P\cap \ker Q$. En revanche $P+Q=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$ vérifie $(P+Q{)}^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)\ne P+Q$ : la somme seule n'est pas un projecteur, le terme correctif $-qp$ est indispensable.

Le point à retenir. Sous l'hypothèse symétrique $pq=qp=0$, le correctif s'évanouit et l'on retrouve $r=p+q$. L'hypothèse dissymétrique $pq=0$ seule oblige à retrancher $qp$, et c'est le prix exact de la dissymétrie : le résultat, lui, est identique — on recolle deux projecteurs en un seul, dont l'image est la somme directe des images et le noyau l'intersection des noyaux.