Soit p un projecteur de E et s = 2p - id_E.

Questions traitées (celles de l'exercice complet) : 1) montrer que $q={\mathrm{id}}_E-p$ est un projecteur, avec $\mathrm{Im}q=\ker p$ et $\ker q=\mathrm{Im}p$, et en dimension finie $\mathrm{tr}p+\mathrm{tr}q=n$ ; 2) montrer que $s^2={\mathrm{id}}_E$, que $p=\frac{1}{2}(s+{\mathrm{id}}_E)$, et que $\ker (s-{\mathrm{id}}_E)=\mathrm{Im}p$, $\ker (s+{\mathrm{id}}_E)=\ker p$.

1) Comme $p^2=p$ : $q^2={\mathrm{id}}_E-2p+p^2={\mathrm{id}}_E-p=q$, donc $q$ est un projecteur. Si $x\in \ker p$, alors $q(x)=x$, donc $x\in \mathrm{Im}q$. Si $x=q(y)$, alors $p(x)=p(y)-p^2(y)=0$, donc $x\in \ker p$. D'où $\mathrm{Im}q=\ker p$. Les rôles de $p$ et $q$ sont symétriques ($p={\mathrm{id}}_E-q$), donc $\ker q=\mathrm{Im}p$. Enfin, par linéarité de la trace, $\mathrm{tr}p+\mathrm{tr}q=\mathrm{tr}({\mathrm{id}}_E)=n$.

2) $s^2=4p^2-4p+{\mathrm{id}}_E=4p-4p+{\mathrm{id}}_E={\mathrm{id}}_E$, et la relation $s=2p-{\mathrm{id}}_E$ donne aussitôt $p=\frac{1}{2}(s+{\mathrm{id}}_E)$. Ensuite : $$s(x)=x⟺2p(x)=2x⟺p(x)=x⟺x\in \mathrm{Im}p,$$ $$s(x)=-x⟺p(x)=0⟺x\in \ker p,$$ en utilisant que, pour un projecteur, $\mathrm{Im}p=\ker (p-{\mathrm{id}}_E)$. Ainsi $s$ est la symétrie par rapport à $\mathrm{Im}p$ parallèlement à $\ker p$ : se donner le projecteur ou la symétrie, c'est se donner la même décomposition $E=\mathrm{Im}p\oplus \ker p$.