Un endomorphisme complexe préserve l'orientation réelle

Stratégie. Le déterminant d'une matrice réelle ne change pas quand on la lit dans ${\mathcal{M}}_{2n}(\mathbb{C})$ : on peut donc travailler avec le scalaire $\mathrm{i}$, qui n'existe pas dans $\mathbb{R}$. Deux opérations par blocs — l'une sur les colonnes, l'autre sur les lignes — annulent le bloc inférieur gauche ; le déterminant triangulaire par blocs conclut. La positivité tombe alors toute seule, par conjugaison.

1. Le cadre. Posons $$M=\left(\begin{array}{cc}A& -B\\ B& A\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2n}(\mathbb{R})\subset {\mathcal{M}}_{2n}(\mathbb{C}).$$ Le déterminant se calcule par la même formule (somme sur les permutations) dans les deux corps : $\det M$ est le même nombre, qu'on lise $M$ dans ${\mathcal{M}}_{2n}(\mathbb{R})$ ou dans ${\mathcal{M}}_{2n}(\mathbb{C})$. C'est ce qui rend l'opération suivante licite.

2. Opération sur les blocs-colonnes : $C_1\leftarrow C_1+\mathrm{i}{C}_2$. Elle revient à multiplier $M$ à droite par $$T=\left(\begin{array}{cc}{I}_n& 0\\ \mathrm{i}{I}_n& I_n\end{array}\right),\det T=1$$ ($T$ est triangulaire par blocs à blocs diagonaux $I_n$). On obtient $$MT=\left(\begin{array}{cc}A-\mathrm{i}B& -B\\ B+\mathrm{i}A& A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A-\mathrm{i}B& -B\\ \mathrm{i}(A-\mathrm{i}B)& A\end{array}\right),$$ en remarquant que $B+\mathrm{i}A=\mathrm{i}(A-\mathrm{i}B)$ puisque $\mathrm{i}\times (-\mathrm{i}B)=B$.

3. Opération sur les blocs-lignes : $L_2\leftarrow L_2-\mathrm{i}{L}_1$. Elle revient à multiplier à gauche par $$S=\left(\begin{array}{cc}{I}_n& 0\\ -\mathrm{i}{I}_n& I_n\end{array}\right),\det S=1,$$ ce qui donne $$SMT=\left(\begin{array}{cc}A-\mathrm{i}B& -B\\ \mathrm{i}(A-\mathrm{i}B)-\mathrm{i}(A-\mathrm{i}B)& A+\mathrm{i}B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A-\mathrm{i}B& -B\\ 0& A+\mathrm{i}B\end{array}\right).$$ Le bloc inférieur gauche est nul : le théorème du déterminant triangulaire par blocs s'applique. Comme $\det S=\det T=1$, $$\det M=\det (SMT)=\det (A-\mathrm{i}B)\det (A+\mathrm{i}B).$$

4. La positivité. $A$ et $B$ sont réelles, donc conjuguer coefficient par coefficient échange $A+\mathrm{i}B$ et $A-\mathrm{i}B$. Le déterminant étant un polynôme à coefficients entiers en les coefficients, il commute à la conjugaison : $$\det (A-\mathrm{i}B)=\det \left(\overline{A+\mathrm{i}B}\right)=\overline{\det (A+\mathrm{i}B)}.$$ En posant $z=\det (A+\mathrm{i}B)\in \mathbb{C}$, il vient $$\det \left(\begin{array}{cc}A& -B\\ B& A\end{array}\right)=z\overline{z}=|z{|}^2=|\det (A+\mathrm{i}B){|}^2\ge 0.$$ C'est un réel positif — ce qui n'était pas évident sur l'écriture de départ, où tous les coefficients sont réels et quelconques.

5. Lecture géométrique. Identifions ${\mathbb{C}}^n$ à ${\mathbb{R}}^{2n}$ par $x+\mathrm{i}y\mapsto (x,y)$, avec $x,y\in {\mathbb{R}}^n$. La multiplication par le nombre « matriciel » $A+\mathrm{i}B$ envoie $$x+\mathrm{i}y⟼(A+\mathrm{i}B)(x+\mathrm{i}y)=(Ax-By)+\mathrm{i}(Bx+Ay),$$ c'est-à-dire $(x,y)\mapsto (Ax-By,Bx+Ay)$ : sa matrice dans ${\mathbb{R}}^{2n}$ est exactement $M$. La formule dit donc qu'un endomorphisme $\mathbb{C}$-linéaire, lu comme endomorphisme réel, a un déterminant positif : il ne renverse jamais l'orientation. C'est la raison profonde pour laquelle une application holomorphe conserve les angles orientés.

Contrôles chiffrés.

• $n=1$, $A=(a)$, $B=(b)$ : $M=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$, de déterminant $a^2+b^2=|a+\mathrm{i}b{|}^2$. $✓$ Pour $a=0$, $b=1$ : $M=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ est le quart de tour du plan — c'est bien la multiplication par $\mathrm{i}$ — de déterminant $1=|\mathrm{i}{|}^2$.
• $n=2$, $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$ : d'une part $A+\mathrm{i}B=\left(\begin{array}{cc}1& 2+\mathrm{i}\\ 3-\mathrm{i}& 4+2\mathrm{i}\end{array}\right)$, de déterminant $$z=(4+2\mathrm{i})-(2+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})=4+2\mathrm{i}-(6-2\mathrm{i}+3\mathrm{i}+1)=4+2\mathrm{i}-7-\mathrm{i}=-3+\mathrm{i},$$ donc $|z{|}^2=9+1=10$. D'autre part le déterminant $4\times 4$ de $M$ vaut $10$. $✓$

Ce qui est acquis. Les opérations élémentaires par blocs sont des multiplications par des matrices triangulaires par blocs de déterminant $1$ : elles se manient exactement comme les opérations sur les lignes et colonnes, à ceci près que l'ordre des facteurs compte. Et changer de corps pour calculer un déterminant réel est une manœuvre licite et souvent décisive.