Une colonne de Vandermonde décalée fait apparaître la somme des points

Stratégie. On ne calcule pas le déterminant demandé : on le fait apparaître comme un coefficient. On borde le tableau d'un point supplémentaire, noté $X$, ce qui donne un déterminant de Vandermonde dont on connaît la valeur factorisée ; en le développant selon sa dernière ligne, on dispose de deux écritures d'un même polynôme, et l'on identifie le coefficient de $X^n$.

Notations. Pour $a_0,\dots ,a_m$, on note $V(a_0,\dots ,a_m)=\det (a_i^j{)}_{0\le i,j\le m}$, dont le théorème de Vandermonde donne $V(a_0,\dots ,a_m)={\prod }_{0\le i<j\le m}(a_j-a_i)$. Le déterminant cherché est $$D=\det (1,x_i,\dots ,x_i^{n-1},x_i^{n+1}{)}_{0\le i\le n},$$ et l'on pose $V={\prod }_{0\le i<j\le n}(x_j-x_i)\ne 0$.

1. Le tableau bordé. Soit $X$ une indéterminée et $$P(X)=V(x_0,\dots ,x_n,X),$$ déterminant de taille $n+2$ dont la dernière ligne est $(1,X,X^2,\dots ,X^{n+1})$. Le théorème de Vandermonde, appliqué aux $n+2$ points $x_0,\dots ,x_n,X$, donne d'un côté $$P(X)=(\prod _{0\le i<j\le n}(x_j-x_i))\prod _{i=0}^n(X-x_i)=V\prod _{i=0}^n(X-x_i).(1)$$

2. Le développement selon la dernière ligne. De l'autre côté, en développant $P(X)$ selon sa dernière ligne (indice $n+1$), le terme d'indice de colonne $j$ vaut $(-1{)}^{(n+2)+(j+1)}{X}^j{\Delta }_j$, où ${\Delta }_j$ est le mineur obtenu en supprimant cette dernière ligne et la colonne des $X^j$. Pour $j=n$, le mineur ${\Delta }_n$ garde les lignes $x_0,\dots ,x_n$ et les colonnes des puissances $0,1,\dots ,n-1,n+1$ : c'est exactement $D$. Son signe est $(-1{)}^{(n+2)+(n+1)}=(-1{)}^{2n+3}=-1$. Donc $$\left[\text{coefficient de }{X}^n\text{ dans }P\right]=-D.(2)$$

3. L'identification. Dans $(1)$, le produit ${\prod }_{i=0}^n(X-x_i)$ est unitaire de degré $n+1$, et son coefficient de $X^n$ est l'opposé de la somme de ses racines (relations coefficients-racines), soit $-{\sum }_{i=0}^n{x}_i$. Le coefficient de $X^n$ dans $P$ vaut donc $-V{\sum }_i{x}_i$. En comparant à $(2)$ et en simplifiant par $-1$ : $$\boxed{D=\left(\sum _{i=0}^n{x}_i\right)\prod _{0\le i<j\le n}(x_j-x_i).}$$

Le point délicat. Le bordage n'ajoute pas une ligne quelconque : il ajoute une ligne de Vandermonde, ce qui est la seule raison pour laquelle la valeur factorisée $(1)$ est connue. Et le mineur qui nous intéresse n'est pas celui de la dernière colonne, mais celui de l'avant-dernière puissance — c'est le saut de $x^n$ à $x^{n+1}$ dans la matrice de départ qui se traduit par un trou dans les colonnes du mineur.

Contrôles. Pour $n=1$ : $\det \left(\begin{array}{cc}1& x_0^2\\ 1& x_1^2\end{array}\right)=x_1^2-x_0^2=(x_1-x_0)(x_1+x_0)$, conforme. Pour $(x_0,x_1,x_2)=(0,1,2)$ : $$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 2& 8\end{array}\right|=8-2=6,\left(\sum _i{x}_i\right)V=3\times (1-0)(2-0)(2-1)=3\times 2=6.$$

Le point à retenir. Un déterminant qui dépend polynomialement d'un paramètre se lit coefficient par coefficient : borde, développe, identifie. Le nombre obtenu ici, ${\sum }_i{x}_i$, est le même que celui que rend la somme ${\sum }_i{x}_i^{n+1}/{\prod }_{j\ne i}(x_i-x_j)$ dans la base de Lagrange — une seule quantité, atteinte une fois par l'interpolation et une fois par le déterminant.