De la définition géométrique à l'équation réduite

Ce que l'on démontre. Que $\mathcal{C}$ est l'ellipse d'équation réduite $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$, de grand axe $4$ porté par $(Ox)$ et de petit axe $2\sqrt{3}$ porté par $(Oy)$.

Stratégie. La seule chose exigible ici est d'écrire $MF=ed(M,\mathcal{D})$ en coordonnées, d'élever au carré et de reconnaître l'équation obtenue. Les formules donnant $a$ et $b$ en fonction de $e$ ne sont pas à connaître : on les retrouve.

1. Mise en équation. Pour $M(x,y)$, on a $MF=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$ et $d(M,\mathcal{D})=|x-4|$. La condition $MF=\frac{1}{2}|x-4|$ équivaut, les deux membres étant positifs, à l'égalité des carrés : $$(x-1{)}^2+y^2=\frac{1}{4}(x-4{)}^2.$$ On développe : $$x^2-2x+1+y^2=\frac{x^2}{4}-2x+4⟺\frac{3}{4}{x}^2+y^2=3.$$ En divisant par $3$ : $$\boxed{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}.$$

2. Nature et éléments. Comme $0<e=\frac{1}{2}<1$, le cours annonce une ellipse, et l'équation obtenue le confirme : elle est de la forme $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ avec $$a=2,b=\sqrt{3},a>b>0.$$ L'équation ne change ni quand on remplace $x$ par $-x$, ni quand on remplace $y$ par $-y$ : $\mathcal{C}$ admet donc $(Ox)$ et $(Oy)$ pour axes de symétrie et $O$ pour centre de symétrie. Le grand axe est porté par $(Ox)$ et mesure $2a=4$ ; le petit axe est porté par $(Oy)$ et mesure $2b=2\sqrt{3}$.

3. Le contrôle : foyer et directrice retrouvés. Posons $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4-3}=1$. Alors $$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}=e\text{et}\frac{a}{e}=\frac{2}{1/2}=4.$$ Le foyer est le point $(c,0)=(1,0)=F$, et la directrice associée est la droite $x=\frac{a}{e}=4$, c'est-à-dire $\mathcal{D}$. La construction géométrique et l'équation réduite décrivent donc bien le même objet, ce qui valide le calcul.

Remarque. On peut aussi vérifier la définition sur un point quelconque de l'ellipse : pour $M=(2\cos t,\sqrt{3}\sin t)$, $$M{F}^2=(2\cos t-1{)}^2+3{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t-4\cos t+4=(2-\cos t{)}^2,$$ donc $MF=2-\cos t$ (positif), tandis que $\frac{1}{2}d(M,\mathcal{D})=\frac{1}{2}|2\cos t-4|=2-\cos t$. Les deux quantités coïncident pour tout $t$.