Deux courbes tracées suffisent à donner le plan tangent

Ce que l'on démontre. Que le plan tangent à $\Sigma$ en $A$ a pour équation $\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-z-1=0$, obtenue aussi bien par le gradient que par les tangentes à deux courbes tracées.

1. Les deux courbes. Pour ${\Gamma }_1$ : ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1=z$ pour tout $t$, donc ${\Gamma }_1$ est tracée sur $\Sigma$. C'est la ligne de niveau $z=1$ de la surface : le cercle de rayon $1$ à la cote $1$. Elle passe par $A$ pour $t=\frac{\pi }{4}$, puisque $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pour ${\Gamma }_2$ : $s^2+s^2=2s^2=z$, donc ${\Gamma }_2$ est également tracée sur $\Sigma$. C'est la section de $\Sigma$ par le plan vertical $y=x$ — une parabole. Elle passe par $A$ pour $s=\frac{\sqrt{2}}{2}$, puisque $2\times \frac{1}{2}=1$.

2. Les vecteurs tangents. On a $${\Gamma }_1^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t,0),{\Gamma }_1^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right),$$ $${\Gamma }_2^{\prime }(s)=(1,1,4s),{\Gamma }_2^{\prime }\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\left(1,1,2\sqrt{2}\right).$$ Par ailleurs $F(x,y,z)=x^2+y^2-z$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, $F(A)=0$, et $$\overrightarrow{\nabla }F(x,y,z)=(2x,2y,-1),\overrightarrow{\nabla }F(A)=\left(\sqrt{2},\sqrt{2},-1\right)\ne \overrightarrow{0}.$$ Les produits scalaires valent $$⟨\overrightarrow{\nabla }F(A),{\Gamma }_1^{\prime }⟩=\sqrt{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+0=0,$$ $$⟨\overrightarrow{\nabla }F(A),{\Gamma }_2^{\prime }⟩=\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0.$$ Les deux tangentes sont donc orthogonales à la normale, c'est-à-dire contenues dans le plan tangent — ce que le cours démontre en dérivant l'identité $F(\Gamma (t))=0$.

3. Le plan tangent, deux fois.

Par le gradient. Le plan tangent en $A$ est $$\sqrt{2}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\sqrt{2}\left(y-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-(z-1)=0⟺\boxed{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-z-1=0}.$$

Par les deux courbes. Les vecteurs $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$ et $\left(1,1,2\sqrt{2}\right)$ ne sont pas colinéaires (le premier a une troisième coordonnée nulle, pas le second, et le premier n'est pas nul) : ils forment donc une base du plan tangent, qui est le plan affine passant par $A$ et dirigé par ces deux vecteurs. Une normale s'obtient par produit vectoriel : $$\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\sqrt{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\times 2\sqrt{2}-0\\ 0-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\times 2\sqrt{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -\sqrt{2}\end{array}\right)=\sqrt{2}\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ -1\end{array}\right).$$ On retrouve, à un facteur $\sqrt{2}$ près, le gradient : le plan est le même.

Ce qu'il faut retenir. Exhiber deux courbes tracées sur une surface et passant par un point est une manière de calculer le plan tangent sans dériver de paramétrage. Sur $\Sigma$, les deux courbes naturelles sont la ligne de niveau (horizontale) et une section verticale : elles se coupent au point et suffisent à engendrer le plan.